卷 - 光盘方法

[0:00:00]
今天，我们将谈论数量。体积是一个在AP微积分中显示的主题。我们今天正在做的方法，与以前在横截面上所做的方法不同，它将成为查找舍入对象卷的方法之一。我们将使用光盘方法。有几种不同的方法来制作圆形对象的卷。此方法和另一种称为外壳方法。壳方法通常是在微积分类中覆盖的方法，但是我们不会集中精力，因为它不需要AP测试。我知道我们不会做外壳方法的事实会让您像外壳一样感觉到所有空心的感觉，但是您会克服它。那只是个笑话。打开笑声。

无论问题看起来多么复杂，每次都相同。您一直以某种形式进行的操作是采用一个功能，将其围绕一条线旋转，并找到旋转时所获得的形状的体积。让我告诉你一个。例如，如果您在这里进行一个不错的三角形。我在这个高科技演示者中给了几支铅笔。铅笔是轴。如果我在此轴上旋转它，您会看到它正在描述形状。如果您越来越快地将其旋转，您可能会想象形状更好。这是几个锥体。现在，另一个。 Let's say for example that you want to take the function 2² of x and rotate it around the x axis? There is our axis that we are going to rotate on and rotate this.

[0:02:00]
注意形状，将其围绕轴旋转。你现在能看到那个形状吗？有点像碗。当您旋转一些东西时，您会得到什么形状？让我看看我是否可以做得很好。您看到它正在描述的圆圈吗？这就是圆圈的核心。而且有这条线是圆的半径，四处走动，它基本上跨越了构成圆形区域的所有位置。界。这是公式，它确实来自圆圈。 There is pi f(x). f(x) is the function. Sometimes people will call this r(x) instead. The reason they call it r(x) is because it's really the radius. This is r².

有些有趣的是，Pirâ²不是音量。pirâ²是地区，这就是发生这种情况的怪异的地方。您有曲线，然后将其旋转在其轴上，像这样旋转，您会得到一个圆圈。那个圆圈有一个区域。再往前走一点，并在其中心周围旋转另一个位置。再往前走一点，在半径周围旋转。您可以看到开始出现的形状吗？这在这里。

[0:04:00]
有锥形。但是奇怪的是，您真正真正拥有的只是一堆光盘。这些光盘中的每一个都无限薄，因此没有音量。但是，如果您在该区域上添加了无限薄的无限碟片，那么您仍然会得到体积。这就是整合的来源。

整合必须从旋转的形状的一端发生，这是形状的另一端，那就是B。因此，这种限制始终必须沿着要旋转的方向沿着。您可以在X轴上旋转，可以围绕其他X线旋转，也可以在Y轴上旋转。如果您在Y轴或Y线上旋转，则必须是DY，并且您的限制必须为Y数字。

所以让我们尝试一下。我们将旋转围绕X轴的形状。围绕X轴旋转的事实使这是一个相对简单的问题。找到当y等于2 x的x的体积围绕x轴旋转，并使用1到5之间的限制。

这是1点的限制之一，这是5点的另一个限制。如果我在1处有一个圆盘并旋转它，则看起来像这样。有半径。如果我在5处有光盘并旋转它，那就是这样。有几个代表性光盘。

您注意到我这次在最后一个限制上更改了公式，说F（x）而不是r（x）。但是请记住我所说的，半径是重要的。半径是从旋转到任何地方的任何地方的距离。现在，不要以为总是以相同的方式找到它的错误。

[0:06:00]
在此可能有很多变化，这就是查找光盘卷的混乱所产生的。但是，这是相对简单的，从x轴到函数的距离是函数。因此，r（x），足够容易，它只是x的2英寸。如果我想对此表示想，我会说，它围绕轴旋转等于0，即x轴。因此，与那里的距离是您通过减法而知道的距离，是否会减去是否显示。我们正在从从轴或轴上测量的位置减去函数。因此，x负0，实际上是x的2字。

稍后，我们将遇到一些问题，我们将获得一些不同的轴，而轴则不同，半径与功能不同。我们现在将其设置。请记住，您必须设置与公式的积分。但是我今天想在这里犯一些错误。因此，让我们看看您是否可以抓住它们。这里会有一对夫妇。卷我们必须执行r {x），而r（x）为x的2”。DX，看看这里，那里有两个错误。PI缺失，这就是其中之一。很容易忘记它。 But you really are just doing areas and adding up areas to get volume. So you have to have pi r². That's the other one, there is no square. It's not pi r² yet. So I have to take this quantity and I have to square it.

因此，现在，如果我将其简化一点，我的PI Times积分从1到5。

[0:08:00]
4倍，还有DX。整合使您的2piXâ²集成了1到5。请记住X的积分为Xâ²，但是您需要校正因子。因此，通过执行衍生物来检查它。即使您有信心，也会偶尔这样做。Xâ²的导数为2倍，时间2为您提供了其中的4个。几个替换，我们完成了。

我可以将2PI因子推出，为什么不呢？它可以节省我的时间。然后我将5替换为Xâ²，所以那是5x字。我使用的是微积分的第一个基本定理，该定理说替代第一件事，然后替换第二件事，然后替换结果。所以我有2次PI倍5â²负1â²。5â²为25，1â²是1。25减1，24。24倍2 PI给我们最终答案48 pi。

向前和向上。我们确实涉及围绕X轴旋转的最后一个示例，因为圆盘方法确实是针对围绕X轴旋转的。它自然而然地做到这一点。在其他轴周围旋转要困难一些，但我们需要尝试。这并不是那么困难。因此，我们将尝试围绕Y轴旋转。为什么？为什么不？y轴。是的，那是一个数学笑话。 I as rotating around a vertical axis. Find the volume of this shape obtained when y equals 1/3x is rotated around the y axis and use limits of 0 to 15.

[0:10:00]
围绕y轴旋转。如果这样做，我们将获得锥形。请注意，我更改了卷公式位。没有很多，但是有点，但是我必须这样做。因为您集成的方向必须是将光盘堆叠起来的方向。它们沿着y轴堆积，因此您必须沿着沿Y轴的一堆光盘进行集成。这就是为什么是r（y）dy。我们的下一个问题是，这不是y的函数，而是x的函数。因此，我需要在找到半径并使其成为y的函数之前对其进行更改。尤其是为此，这真的很容易做到。

y等于x的1/3，因此，如果是这种情况，则x必须为3y，并且您应该将两侧乘以3。x等于3y，现在这是y的函数，因为您可以使用y数字找到x。我们需要有半径。我们的半径是y，半径是从轴到旋转的距离的距离。正在旋转。有轴，它绕着垂直轴绕着。好吧，如果您是从形状中衡量的，那么您实际上只是在使用该功能。

但是，在技术上是正确的，我在这种情况下说，我要拿起功能并从中减去轴，然后您得到y的半径等于3y。我必须告诉您一些您必须记住的事情，因为它将在剧集结束时出现。在我们做的最后两个方面，我们具有功能，并减去了轴。因此，您可能现在正在思考，是的，我知道该怎么办，我只会拿起功能，我将减去轴。不，这不是那么简单。

[0:12:00]
有时，您必须以一种奇怪的方式扭转它。确实没有可预测的方法可以说您要做什么，因为可能会有很多变化。您唯一可以说的是半径。总是半径。而且，您需要按照任何需要的顺序进行任何添加或减法，以找到轴与旋转的事物之间的距离。让我们回到问题，我现在就设置了。

该卷是PI的组成部分，我想再次犯错，不好。当然，我犯这些错误的目的是查看您是否可以抓住它们。因为如果您可以抓住，那么您就可以很好地理解发生的事情。这里只有一个错误。是的，就是这个。0和15。这些是x数字。我们正在集成y，我们需要y数字。当x为0时，0的1/3为0，因此，y的数字相同，但是当x为15时，y是15的1/3，只有5。让我们摆脱它。真正的限制是0到5。我想在进行整体之前先进行平方，而当我要使事情变得更简单时，我知道当我平方3y时，我将获得9y²。我将把9个作为一个因素。 That's a nice trick for doing integrals because it makes it a little less confusing if you don't have these constants in there. So we have to integrate that y², dy, and the integral of y² is one power higher, that's y cubed. But of course there is the correction factor of 1/3.

[0:14:00]
因此，当一切都说完之后，我们将拥有1/3的9倍，即3倍，乘以1/3的功率。而且必须对此进行评估。从0到5。我将留下它供您尝试。这确实是一件很快的事情。最终结果是375 PI。

是时候再详细阐述了。最近的AP测试包括与我们要做的问题一样复杂的问题，因此最好做好准备。这次我们将添加两种不同的东西。一个是我们要添加所谓的洗衣机。洗衣机听起来像是这样。看起来像是一个形状，这是一个圆圈，中央刻有一个圆圈，就像它们在组装物品中使用的那种垫圈一样。因此，当您这样做时，您基本上是在做一种形状并减去另一种形状。我们要添加的另一个详细说明是，我们旋转的轴不再是坐标轴之一。

让我们看一下。找到当所有这些定义的区域旋转时y y等于-1时获得的形状的体积。因此，它围绕着y线旋转，告诉我我必须使用集成在x上的公式的版本。在这里查看其他东西。它与以前的公式不同。现在是CapitalRâ²减去小râ²。换句话说，我们正在做大卷的体积，然后完成小卷的体积，然后将其减去。

请注意，两种卢比都有广场。

[0:16:00]
如果您写这篇文章，（R-R） - 并将其整合在一起，您将不会得到相同的答案。您确实可以单独进行两卷并减去它们。但是，将它们平整，减去它们然后集成的速度通常更快，因此让我们摆脱它。掉入所有轴。

这个问题并没有给您X或Y的限制，但是它所做的是给您足够的公式，您可以锁定形状。我们有x等于0，这就是这条垂直线。我们有x等于3。这就是这条垂直线。我们有f（x）等于xâ² + 5，这就是这个抛物线。g（x）等于x + 2，这就是倾斜线。因此，被困在那里的区域的形状是这样的，它将围绕着这里的轴旋转。我现在要绘制一些形状。

如果您旋转外部功能，它会给您类似的东西。如果您旋转内部功能，则会得到这样的东西。然后您有一个漂亮的小洗衣机。您可以有很多这样的洗衣机，另一个洗衣机和那里的洗衣机。而且，如果将所有这些洗衣机集成在一起，您将获得音量。因此，最终结果将是看起来像这样的形状。我们必须现在上班。请记住最后两个问题，对于半径，您只需使用这些功能即可。就是这样。这次更加复杂。 Radius is radius. So radius is the distance from the function to the axis.

[0:18:00]
因此，这是函数减去轴。大个子首先，Capital R. R（x），这是距离轴的距离，到达此处的外部函数。这是较大的半径，也就是R。现在，如果轴只是X轴，距离将是函数，则为Xâ² +5。但是Xâ² + 5会像这样。轴是这样的。函数结果是该长度，然后您必须添加更多，因为它离该轴y等于-1的轴比函数等于-1。

因此，函数负轴，该函数为xâ² + 5，我必须减去轴，所以即-1。它更远。这是一个-1。因此，我们的最终结果是xâ² +6。我们将其保存为设置。现在，我们需要找到较小的半径。小半径是同一件事，它只是一个不同的功能减去相同的轴。为此，较小的函数为x +2。到较小，我的意思是更接近轴。我必须减去到轴的距离，所以那就是-1。有我们的小。它是x + 2减-1，即x + 3。

[0:20:00]
因此，我们得到了我们需要继续下一部分的两个部分。体积。我们的半径都是大的半径。大的是xâ² + 6，小的是x + 3，现在我们可以将其设置。我们的集成限制是由左垂直线或右垂直线定义的，因此我们已经准备好了。

音量是不可或缺的。垂直线之一是在0，另一个是3岁，我只是想今天犯错，看看您是否可以抓住它。看看您是否可以抓住它们。回顾一下您的笔记中的公式。我忘记了什么？涉及区域的东西，这是正方形。请记住，它们必须单独地平方，我真的应该在整个过程中放一个大括号，因为整个过程必须与DX集成。

好吧，现在让我们去镇上。我们必须对此进行平方，从而减去结果。因此，我们的pi是从0到3的积分。不过是，这只是一个二项式，因此当您SquareXâ² + 6时，您会得到第一个术语平方，即x到第四。第一学期，第二任期翻了一番，是12x字。如果您还没有，您应该真正记住二项式快捷方式。非常方便。再加上最后一件事，平方为36个。

[0:22:00]
而且我真的需要有下一个括号，因为如果您只是将其保持平整并将其留在前面，那么您可能会失去所需的一些负标志。Squaring X + 3为您提供了第一个学期的平方，再加上第一学期的第一项两倍，即6倍，加上最后一项平方，即9岁，现在我们已经快到了。

因此，我们的pi times是从0到3的积分，将我们的类似术语放在一起。在这样做之前，我要采取我认为您真的应该采取的婴儿步骤，即使这似乎很愚蠢。在括号前将这种负面的内容分配给内部的所有内容，以便您不会弄乱一个迹象。另外，负，负，负。因此，x到第四，那里没有X到第四。12xâ²plus-xâ²为11倍。我们有加号-6x，我们不想忘记这一点。现在是36。因此，您将获得36 plus -9，它将是25岁。查看所有这些东西。同样，您需要集成。

请记住，这将整合为X的1/5到第五，这将集成为X Cubed的11/3。这将集成到-3x字，将集成到25倍。在您替换了所有这些数字，所有这些功能，所有这些分数之后，确实需要一段时间。而且，如果这是在免费的响应计算器部分上，您不会打扰它，只需将其输入计算器即可。

[0:24:00]
但是，如果您必须手动执行此操作，那么这是您应该得到的结果，即1008/5 Pi，这是PI的一小部分，201.6。我们有足够的时间去看看一件事。看一看。

这个人要求您找到当该区域定义的所有东西定义的形状的体积，围绕y等于4。令人困惑。让我们先为此做一点素描。

因此，x，y轴，我需要具有x等于0的定义，这是我们的边界之一。我们的Y等于16，这是我们的另一个界限。这将在这里出去。功能是x的平方根，我们需要对此边界的另一种定义。我只有几个范围。我还不够。我那里没有顶部或底部。因此，我将其添加到问题中。我将把它添加到问题中。

我将添加界限等于0。这只是说X轴的一种奇特的方式。所以这是形状。如果您考虑一下，这些界限之一确实是不必要的。x等于0。因为这是最远的此功能。现在让我们绘制轴，y等于4。这是有趣的部分到达的地方。查看x是16时，您将其放入功能中，16的正方形为4。因此，此处的高度是4。

[0:26:00]
这意味着轴只是接触它，甚至更糟糕的是，轴在形状上方而不是在其下方。那会使它变得更棘手。您可能会想，等一下。这里这个小问题，这只是光盘，但实际上，这是洗衣机。信不信由你。因为必须围绕轴旋转2个函数。有一个使您像这样的大圆圈，然后有一个较小的圆圈。想象一下，如果您要到达这里的形状基本上是一个大圆柱体，然后就被挖空了。它被这种方木形挖空了。

从某种意义上说，想象一下正方形的形状如何像小号的铃铛，然后拿起小号的铃铛，然后将其放入圆柱体中，我们发现的卷是在小号和小号的铃铛之间在圆柱体外。让我们进行设置。外部连接是轴为4.轴和此函数之间的距离。此功能仅为x等于0，但是半径仍然是轴和功能之间的距离，因此在这种情况下，您不必对此进行很多思考。y之间的距离等于4和y等于4。这是整个外部函数。没关系。有时，它们可以那么简单。

内心。这会使您再次混淆。在内部函数上，是轴和函数之间的距离。让我在这里绘制另一个小素描，这样您就可以更清楚地看到它。

[0:28:00]
这是我们在4处的轴，有我们的功能，轴和函数之间必须很少r。如果您使用该功能，它不会给您这一点，它将为您提供。那就是功能。这是小半径。但是，小半径中的功能共同构成4个总距离，因为那是轴的样子。您可以通过服用4并减去功能来获得半径。很奇怪，这可能会发生。它并不总是像采用功能和使用轴那样简单。有时您必须这样做。4减去函数和函数是x的平方根。

现在，我要把这个写出来。我将使用所有步骤以及我向您展示的其他问题将其放入补充材料中，以便您可以看到解决答案所涉及的所有内容。

今天，我们覆盖了卷或旋转，这是您旋转由轴周围某个区域定义的形状时所获得的体积。我们确实绕X轴旋转的第一个问题，一个相对简单的问题。我们转到一个更难的东西，绕Y轴旋转。围绕y轴旋转需要我们从y的函数而不是x的函数来找出功能。

接下来，我们进行了进一步的详细说明，在那里我们使用了洗衣机方法。而且我们的轴甚至都不沿形状。将轴从形状中移除，从而为您提供类似的东西。基本上，体积减去体积。

[0:30:00]
我们看过的最后一个是将轴连接到形状的，它不在X轴上。这样一又一步又要艰难了。好吧，您可以保证在AP测试中看到旋转量。最有可能在免费响应部分中。他们可能会问您一个困难，就像您需要在哪里找到两个函数之间的交集以找到集成的限制。查找额外的材料，以了解沿这些行的练习问题，包括所有步骤。

您可能还相信与否，在多项选择中找到其中之一。如果这样做，它可能会像一个问题一样简单，要求您在5个不同的设置中选择查找卷，在这种情况下，它很快，您只需要将其写出即可。我建议您在您甚至查看多项选择答案之前就自己写出来，因为有时看到多项选择答案会朝着错误的方向影响您。再次感谢您的调整并记住继续转动。