隐函数微分

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你要做什么当你不能解决一个单变量方程吗?所谓ghost-busters吗?这可能是之前你的时间。总之,如果你不能解出一个变量,你仍然可以做隐函数微分。这是一个很酷的技术。

隐函数微分可以区分任何类型的关系。我们将开始在这节课中通过展示你,它确实有效。后告诉你,它真的有效,我们将尝试一些练习题。然后我们会继续做一个二阶导数。所以,让我们试一试。

没有欺骗,是的它确实有效。让我们试试。这个问题是问你找到那个小方程的导数x,你注意到了吗?这还没被解决了y像我们通常做的。谁在乎呢?隐函数微分法?谁在乎呢?看我们所做的。我们用y - xA²=开始,我将留下一个小缺口,缺口是有原因的。

记住的第一件事你在代数一边不管你做什么,你必须做其他吗?我要治疗一个导数是两边都要做的。奇怪,但它的工作原理。我的目标是得到dy / dx我所要做的就是做导数x两边,像这样。d / dx。我要把它放到一个括号,因为它必须完成整个的一面。如果我做的导数一边我必须做另一边的导数。所以你有d / dx的5。好了,现在我们可以去城镇。

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不过,这里是它的重要组成部分,是一种崭新的。我们需要做这两个的导数和xA²的导数是没有问题。但y对x的导数,它甚至不是相同的变量。现在,你要做的是假装这是x暂时和你做它的导数。y = 1的导数。一个单变量变量的导数是1。但是你真的不知道y与x。所以有效这是链式法则。就像y是由一群xs和有一些东西,你必须做它的导数。但我不知道如何y与x所以我不得不离开,导数未完成。

所以我要做y对x的导数,但是我不知道怎么做,所以我要离开。现在让我们做的导数,这很简单。这边2 x和任意常数的导数为0。我们几乎已经完成了。认识到吗?这只是另一种说法导数。我要解出这个分数,我完成了。

让我们看看我们这里。我们要添加2 x双方得到dy / dx = 2 x。在接下来的幻灯片我要告诉你,这真的神秘技术确实有效。我要做的就是解决这个y和我们通常所做的衍生品。所以我要找到的导数,我要解出y。您可能想知道,为什么你不只是解出y ?很容易做的。这个你可能。

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因为导数是很容易做的,很容易解出y。那边的导数是0 + 2 x。我们得到了同样的回答。这当然是一样的dy / dx莱布尼茨的符号。我们有同样的事情。隐函数微分最酷的地方是,有时你有事,真的很难解出y,你甚至不需要麻烦。

你可能会想,是的Postivit说这是神奇和美妙的,但是当我要使用它呢?当你要用这是当你处理微分方程。我们要做一些简单的微分方程后在这节课中,与相关的利率。相关的利率是一个伟大的主题,它们是一个很大的话题,足够大,我们将解决他们与另一个情节。让我们试一试。

这是一个你真的不想做这个没有隐函数微分。因为经常做这个你必须解出y但是会很艰难,因为你有丫³和y因子。那将是真的丑解出y。我们甚至不去尝试。我们要做的就是设置它。让我做这个,我们会d / dx。d / dx(丫³xa²+ 2 y + 4) = 7 / dx。记住我刚才说我们真的是用链式法则。它看起来就像它但我们。让我告诉你为什么。假设我对y能解决这个事情。我要做一些。 This isn't really what y would be.

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假设如果我能解出结果是y = x, y 4/9的力量- x。我知道现在我要取代这些y表达。所以我会dx, dy / y必须取代x - x 4/9。有一个立方这总数是丫³+。

假设你替换这个和你说,现在我要做的导数普通老式的方式你习惯什么。比方说,我要做但不仅仅是x的导数。所以我把3,使权力少了一个但我不得不做的导数的东西在里面。这需要链式法则。

现在如果你可以继续这样做。但它不是。我们不知道它是什么,它只是y,我们甚至不想试图找出y是什么。这是一个情况下,链式法则因素就y关于x求导和你离开。现在让我们做这个问题。所以我要写出来一次。我们有d / dx(丫³xa²+ 2 y + 4) = 7 / dx。您可能想知道,有两个变量,为什么我选择把dx底部吗?只是因为我告诉过你。你本可以做dy / dx方程。 It's possible. But we won't in this case. Later on though we will be doing a derivative with respect to other variables.

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所以的导数,如果这只是普通的老式x,它的导数是3 xa²。我们要假装它是如此的导数。这是外链式法则的一部分。它给了我们3丫²但这是链式法则,因为这不是相同的变量,我们推导与尊重。所以我们必须有次dy / dx的因素。现在,如果这是2 x,导数是2。所以我们要假装它是x,它的导数是2但这不是x所以我要回溯和dy / dx因素。这只是8 x的导数和另一边,一个常数的导数为0。

好吧,我们的目标是找出x的导数。下一步,想想这个,我们会得到两个,我要做什么,为他们解决。既然这两个,我要因素。我将带,两边同时减去8 x。在这边,我已经离开,这两个因素dy / dx。我要因素,二项保理。是这样的,我们有dx和dy /如果我这个表达式的因式分解得到3丫²。因素的表达,我只得到2,我们差不多做完了。

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它是dy / dx乘以整个括号。我需要做的就是两边同时除以整个括号和答案。所以最终的答案,是dy / dx = 8 x /整个数量、3丫²+ 2。在这里。如果你想跟随解决方案,奖金材料包含将跟随这些解决方案的实践问题。还有一个细化,我们能做的。

这是同样的问题只有一个步骤。你可能被要求在美联社测试去发现这样的一个方程的斜率在特定的位置。这个我之前解决,如果我们做的导数与隐函数微分得到dy / dx = 4 x / y。你可能想尝试这只是一点点的练习。这些是相对容易的。让我们看看会发生什么。你认识这个形状,它是一个椭圆,代数2以来你一直在做这些。让我们做一个图,它看起来像这样。如果你去做斜率在x = 1,在图1,x =现货。斜率为1左右,但是,x = 1点。

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这是好的,它可以发生,因为这是一个关系不是一个函数。在那个地方看起来像你有一个斜坡的+ 1之类的。所以你可以得到两个答案。看看我们这里,斜率需要你使用x和y, x和y。你需要做什么以继续得到两个坐标,寻找斜率的x和y坐标。

之前你只是需要x坐标,因为斜率公式,只有涉及x。这个还包括y这位置是1,如果我把1到这个公式,我们将得到y = 3。双重检查第二个在这里,是的,我们在业务。对于这个位置,斜率是4,x的位置是1 / 3。所以这个是4/3斜率。如果我工作这一坐标是(1、3)。如果我用斜率公式一个更多的时间,我得到的第二个坡x = 1时,这个是+ 4/3。

二阶导数。噢,痛苦!好吧,这些是有点长但你可能要求做一个。所以你要确保你已经练习这些。二阶导数是导数的导数,换句话说的变化率斜坡或斜坡的斜率。下一张幻灯片展示的步骤。你可能想下载这些奖金的材料你可以跟随。

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所以我们的目标是要做这种形状的二阶导数,xA²+丫²= 36。这是一个循环。注意这是写的,有点好笑。广场在d但它的变量。它总是这样就别担心。

下面是台阶,前两个是那些我们已经练习,做隐函数微分,然后求出dy / dx。接下来,你隐式微分一次然后通常你需要代替y”。然后有时甚至需要追溯到原始方程和替代的。

所以我需要做的第一件事是它的一阶导数,我要把它写在这里。所以我们要做的d / dx xA²+丫²,等于d / dx 36。xA²是2 x的导数,导数丫²。记住这不是相同的变量,x和y是不同的变量,这是重要的。我们要做的好像是导数xA²,这将给我们2 y。但是因为它真的不是x,我们需要链式法则dy / dx的因素。我们还在做第一个隐函数微分。另一方面,36的导数,它是一个常数,它只是0。但是不要指望那边总是为0的导数,它只是这样了我们做过的一些问题。

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我们做微分,我们现在必须解决对dy / dx,这不会花很长时间。事实上,你可以做这个。dy / dx两边需要2 x这样做然后我还有2 y dy / dx这边。所以两边同时除以2 y。这些2 s分就给我们x / y,我要把这个负号放在前面的分数。所以dy / dx = - x / y。

我要做一件事时,这将是一个节省时间的二阶导数。我们要开始写这个符号很长所以我要开始使用牛顿符号,我称之为y”。所以y ' = - x / y。就是这样,你所做的步骤1和2。我们将继续做第三步。第三步是做这一次的导数。所以我要做d / y '的dx,等于d / dx - x / y。二阶导数。一阶导数的y y”。我们这里用链式法则。 It doesn't look like it but we really are. The derivative of this would be 1 times dy/dx. Over here, just stop and look at that for a second, that can confuse you. We've got to do the derivative of -x/y. We're dividing variables.

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回想几集。你使用哪个规则,当你做一个变量的导数被分裂?除法法则。这真的可以让你大吃一惊。它不仅是除法法则,下面的变量不是相同的一个一个我们做的导数。所以我们要有一个链式法则,作为它的一部分。这是一个商和链式法则组合。除法法则是第一位。

所以你记得除法法则要求你做顶部的导数乘以底部的非导数。这个-我要把前面,所以我们不需要处理,直到后来。我们可以把它作为一个因素。顶部的衍生品,就是1倍的非导数的底部y。现在我们要做的下一个除法法则中减去一部分的非导数,非衍生的分子,分母的导数。分母,不是同一变量,所以它的导数等于1次dy / dx。通常我不会打扰写出1但我想做的,因为我真的想让它明显,我们在这里用链式法则。而不是写dy / dx我要写y '拯救我们一些写作时间。

最后一部分的除法法则是分母的广场。这是丫²。我们正在接近完成。我要去下一个屏幕做替换的所以我们要带走y”,并替代它。同样的事情,我要写一遍。y”- y - xy’/丫²。

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记得y ' - x / y,我有替代品,下一个。这是x - y - * - x / y丫²。有一点简化要做。这是需要你有共同点。所以这个分数是要成为消极的负面,这是积极的,+ xA²/ y。这个,y, y / 1所以我要乘以y / y。和y变得丫²/ y,都是丫²现在可以添加这两个分数除以丫²,我们有我们的最终结果。

最终结果将会是你丫³²+ xA²。深呼吸,冷静自己。回到了这些步骤。如果你有条理,这些真的不是太坏。

好吧,我们已经做了很多有趣的事情和隐函数微分。我们开始解释它是如何工作的,证明它,做一个简单的例子,一个更复杂的示例。我们去发现一些实际斜坡的地方躺椭圆,最后我们完成了做一个二阶导数。但是你的头仍然可能支出现在休息一下,放松一下,然后相关的利率事件很快回来,因为你将使用这些技术与相关利率。
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