切线和优化

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切线和优化。好吧，这是您学会如何制作衍生品后一年中早期的话题。这是一个非常重要的话题。该主题的作用是帮助您找到最小值和最大曲线，您还可以找到在任何位置与曲线切线的线路。因此，我们将首先进行一些基本审查。我们将继续解决一些练习问题，然后我们转到一些应用程序。涉及优化问题的应用。

一条切线就是它所说的，这是一条线。看一看。我们在这里有曲线。使切线的特殊之处是，它仅在一个位置触及曲线。所以我要挑选自己。你去了，所以有切线线，它只是在那里的一个地方触摸。

好吧，您已经完成了从代数1开始完成的线程方程，并记住它必须有一个斜坡，并且有一个要点。好吧，这是一个要点。每当您遇到这些问题时，都会被告知要提出什么意义。但是我们需要斜坡，这就是演算的来源。

让我们尝试一下。我们将在这里做两个练习问题。其中一个是一个基本问题，另一个问题只是一步一步。我们来看一下。

因此，我们应该找到与该曲线相切的线的方程式，问题告诉我们它希望切线在哪里。让我们把它放在那儿。

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（-1，-4）好的，有相切的意义，切线线也是如此。因此，看着我认为这可能是2、3、4之类的斜率。但是我们不必猜测，因为我们有微积分可以做到这一点。现在，我们将如何获得我们需要的东西，因为请记住一行，您需要有一个观点，您明白了。但是您还需要一个斜坡。我知道我以前听过这句话，哦，衍生品。衍生物是斜率。

我们要做的是我们希望该行相切的公式的导数，然后我们将看到会发生什么。让我们看一下y =xâ³ -3，这样它的导数为3x字，-3当然是常数的常数和衍生物为0。

现在，这有点有趣，斜率等于一个公式，即您在代数中从未有过的东西。一个是公式的斜率，您做了一个单个数字的坡度。但这是因为您正在处理直线。这是一条曲线，这里的斜率是一定数量。这里的坡度更陡峭，斜坡就在那里，不那么陡峭。好吧，让我们继续。

同样的问题我们刚刚找到了这个斜坡的公式，我们知道它将通过这一点，这就是您可以找到点坡度公式的地方。如果您有坡度和一个点，则可以使任何行的方程式成为任何行的方程式，那么斜率将在一分钟内就正确。

好吧，这个斜率公式只要求我使用x号。因此，当x时-1时的斜率为3倍-1â²，只有3次。因此，我对斜坡的猜测还不够遥远。在这里放入公式。

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所以减去等于等于，我一直喜欢这样做，因为只剩下您要代替的空白。简化的，我们将拥有我们的方程式。看看我们有什么。我们有Y加4等于3倍加3，所以3倍，双方都有4个，您有。那就是在该位置接触曲线的线的方程式。让我们去尝试另一个更难的事情。

看起来更难吧？实际上，这并不是那么难。另一件事使它变得更加困难，我们还没有意义，我们只有一个坐标。但这并不难处理。x等于1，它在那里，我们知道该点的X坐标是1，但我们还不知道Y坐标。您知道切线线将是这样的。找到Y坐标很容易，您要做的就是将一个坐标放入该公式中。因此，让我们尝试一下。

我们得到y = ln（1+2）-1â²。所以y = ln {3-1）。现在，您可以将其作为确切的形式。我将从中进行十进制近似，只是为了使问题更容易。

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小数的近似值约为8.1。因此，我们拥有所需的一个组件之一，我们有一点可以通过。现在，我们必须去找到斜坡，因此我们需要衍生品。现在，这需要链条规则，但是X+2的衍生物仅为1。因此我们可以影响链条规则没有发生。这是一个衍生物很快就可以做到，您会得到y'= 1/x+2，这就是自然对数的派生。-xâ²的导数为-2x。我们将去下一个我写完此幻灯片的幻灯片，我们将继续问题。但是我们快要完成了。

因此，有我们的坡度公式，我们只是在片刻之前发现它通过（1，8.1），那就是（x，y）坐标。我们将找到斜坡，我特别需要的斜坡是那个斜坡。因此，找到y'（1）在（1+2）减去2倍1（即-5/3）上。代替，然后我们就完成了。

好的斜率是5/3再次指向斜率方程的原因，并简化了一点，让我们看看。

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我们有y = -5/3x + 5/3，两侧加入8.1。节省一些时间，我们将把它放在那里。您有5/3 AS 1和2/3，1.6重复，这很容易简化。

优化是一个非常关键的话题，非常重要。优化一直在AP测试中进行，因此，它实际上是微积分的最大用途之一。优化通常意味着您正在尝试找到最小值或最大值的最佳解决方案。因此，这是一个微不足道的例子，但这很适合开始。

因此，问题问您，找到两个正数为612且总和最低的正数。您可以做1次612，乘以612，然后总和为613。或者您可以执行2次306乘，而有些是612，而总和为308。好吧，这是一个较小的总和。我们想找到最低限度，无论如何我们都不想做这个猜测和检查的东西。当您进行优化问题时，会有一些基本步骤。

首先要做的是编写基本的主要方程式。它通常涉及问题的要求。无论问题是什么都要求您最大化或最小化，这是您的主要方程式。因此，在这种情况下，它必须是一个以sum开头的方程式，总和。有时，您必须编写并替换为辅助方程。因此，我要采用辅助方程式。然后，您去找到第一个衍生物，然后以0代替以找到最小值和最大值。

我们在本集中进行优化的原因是，切线是使这项工作的原因。

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让我们尝试这个问题。好的产品612，两个数字。我需要两个数字两个变量，所以我可以说我的第一个数字是x。我的第二个数字是y。并将它们添加给您的总和，这是主要方程式。这是我们要在衍生产品上进行的。但是我们还不能，因为它们是两个变量。为此，我们不会做您期望的派生。

因此，我必须摆脱变量，这就是辅助方程的来源。我们尚未使用一些信息。请注意，其中的612中，数字必须乘以612。因此，让我们写出来。X Times Y等于612。现在我有两个方程式有两个变量，这意味着我可以将它们替换在一起。我要为y解决第二个方程式。这样我就可以替换y。

因此，y在x上是612，然后我将代替它，然后我将有一个只有x的方程式。所以我们去。总和是x上方的x + 612。因此，我们编写了主要方程式，我们编写并替换了辅助方程式。现在，为了最大化它，我们需要找到位于斜坡为0的峰值的位置。让我快速地绘制它。

如果绘制此总和方程式，则该变量为x。垂直的不是y，这是总和。您可以称其为X，但我要标记它的总和。然后看起来像这样。

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就在那里，这就是最低限度的地方。在最低限度的地方，这就是我们要找到所需的X号码的地方。因此，我们的目标是找到该位置的X坐标。然后看，因为那是底部，这是一条水平线。水平线的斜率是多少？0。

因此，我们的接下来的两个步骤是执行衍生物，然后将其代替0代替斜坡，以便我们可以找出该坐标是什么。

因此，我们将执行双方的派生。总和的导数是，它的衍生物仅为1，而衍生物为612/x的衍生物为-612/xâ²。如果需要的话，请记住，您可以先将此612至612倍x更改为负面，以使衍生物更容易。

现在我们知道，这为我们提供了很长的曲线的任何地方，但是我们特别希望在这里斜坡。我们写0，代替。我现在要做的就是解决这个问题，我们实际上有两个数字。我将其添加到双方，给我612/Xâ²等于1。

将两侧乘以xâ²，因此我们得到612 =xâ²。是否两侧的平方根，x是612的平方根。这将变成另一个数字是相同的612。

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因此，我们的两个数字是612的平方根和612的平方根。让我们再试一次，再次这样。“哦！不，他们回来了。”找到可以由8x14纸制成的开放顶部盒子的最大体积。这些事情可能是您在预校赛中的复仇女神。这些天的大多数校准课程都会在其中有一些。但是在预校准中，您必须使用图形计算器找到解决方案。现在我们正在使用演算，您已经从该计算器中解放出来。

让我告诉你这是什么样子。因此，您有一张床单，您可以根据需要切割或从角落所需的少量切割。将其切出后，您可以将其折叠起来。而且您得到了一个盒子，所以我们有了我们的盒子。这个盒子应该具有一定的音量。现在没有什么可说的，我不得不削减这笔钱。看到您削减的数量，这是一个变量。让我在这里告诉你。

您可以将X切断那一侧和X的X。您必须剪掉正方形，以便盒子折叠起来，以使顶有很多。因此，x和x和x和x，但是x是可变的，您可以切掉更多。让我们这样做。我必须整个角落切开相同的切割，否则它们不会均匀折叠。现在将这个小家伙折叠起来，突然之间我们有一个不同的盒子。它是从同一张纸上切下来的，但更高，并且具有不同的体积。

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好吧，如果您用如此细腻的位剪掉一个，您会得到一个非常平坦的浅盒子，几乎没有任何音量。如果您剪了很多东西，就有一个高盒子，但是没有太多的音量。如果您将适量的量剪掉，您将获得一个最大音量的Goldilocks盒子，这就是我们要弄清楚的。咱们上班去。

因此，我们的约束是，表格为8 x 14，所以8，这样14。我们知道我们将必须最大化音量，并且体积是宽度宽度的高度。我们看一下我们的盒子，长度或宽度。长度和宽度在这里和这里。因此，如果我拿走了14个并​​从这一侧切掉X，从那一侧x x，这里剩下的就是14-2x。现在，如果我拿走了这个，然后从那一侧从8和x上切开，从那一侧砍下一个X，我得到了8-2倍。

因此，我们有长度，我们已经有了宽度，并且拥有高度。长度为14-2x，宽度为8-2x和高度，就在那里。这是将替代的卷公式。长度宽度的高度。我已经分发了，以节省一些时间。因此，这是y将成为卷的公式。这将是形状和体积的音量最大。如果要将其绘制出来，请在图形计算器上进行时要小心，因为它们很高，如果您在标准图中进行了操作，则看起来不会像任何东西一样。

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因此，当您设置它时，您想做的就是将其设置为将图形的窗口大约与盒子的大小相关。请记住，我们原始的纸是8英寸，如果您从这一侧切掉X和X，则可以越来越剪掉。但是，您可以从这一侧切掉的最多是四个。沿着14个维度，如果您越来越砍掉，您可以切断多达7个，但不能切断这一侧。因此，您可以切出最多的四个。那是X，当您设置图形窗口时，将其四个或四个宽。这往往是一个100或200之类的东西。

图看起来像那样。峰在那里，演算将为我们找到峰值。因此，让我们再次回顾一下我们的步骤。

我们在那里编写了主要方程式，我们代替了我们所需的东西。这次我们不需要辅助方程，因为只有一个变量。我们的下一步是执行衍生物，替换为零，然后我们几乎完成了。

派生Y'，换句话说，斜率或音量。那将是12xâ² -88x + 112。现在，这可能是因素。但是，如果您是允许绘制计算器的AP测试的一部分，那么甚至不要浪费任何时间试图将其分解。即使使用产品配方，也不要浪费任何时间。只需使用您的图形和计算器查找P。

如果当您不允许使用计算器时，它将是可分配的，您需要这样做。尽管这不是因素，但通常不会考虑，并说出特殊的因素来考虑。我提前做了一点。

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在此方面，如果您将0代替斜坡，您会发现您的X值为1.638，这是其中之一，另一个是5.695。

我们有两种解决方案，但只有一个解决方案解决这个问题。这是胡说八道，您无法将其从盒子的侧面切下来。如果您确实削减了整个床单，那么没有什么可以使用的。因此，这是X值，它将为您提供最大值。我们通常会问您的问题，以找出最大音量是多少。

不要在这里停下来，这是多项选择。他们可能会给您这个答案，以查看他们是否可以欺骗您停止太早。重新阅读问题，它说明了该卷。将其放入其中时，最大音量是您获得的。因此，我早些时候替换了1.638的卷，并进行了处理，大约是82.98。

切线，这是一个重要的话题。在这一集中，我们介绍了在特定斑点找到曲线的斜率。我们已经介绍了在那些特定位置找到切线线的方程式。您通常会在AP测试上看到问题，他们将要求您在曲线上找到切线线的方程式，甚至只是在特定位置的坡度。它们在多项选择部分确实很常见。您可能会或可能不会在免费响应部分中看到优化问题。

不过，在下一集中出现的另一件重要事情是，他们总是要求您在图表上找到最大值或最小值。

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当斜率等于0时，图表上的最大值和最小值就会发生。因此，在下一集中收看，您会看到我们进一步迈出一步。