美联社技巧,第2部分

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实话告诉你,我们今天正在做的是一个真正的技巧。我的意思是真正的数学,这是好东西。但是今天我们将向你们展示一些东西,你可能看到过太多甚至在常规的微积分课程。现在我们要从微分方程开始,你肯定做了这些。微分方程是那些倾向于真正的斜率在x, y坐标图。不过,将利率也许不同。整合速度问题,通常不是完全覆盖在微积分的教科书。如果你还没开始美联社评论类的一部分,你不可能从来没有见过这些。这就是我们将在这一集。

在我们开始之前,我有一个真正的好笑话你。如果你是学习政治科学,你知道一点点封建国王和民主国家。但要记住的是,在民主国家是你的投票,但在封建主义,这是你的选票计数。

基本微分方程,包括一个斜坡,导数,等式的一部分。让我们看一看。所以你可以看到你有一个方程,不仅仅是y = y ' =。这是做的是有关斜坡的x坐标。让我们看一个例子。

找到特定的解决方案,这是一个圈套,y = f (x) y ' = 3 xa y²的初始条件(1)= 10。实际上,初始条件是非常重要的。因为它会有无限的可能的解决方案,他们只会想一个。让我给你无限的解决方案来的地方。

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现在记住,y '是一个导数,开始你必须摆脱质数,与莱布尼茨符号替换它。这就是已经完成,y '是一样的dy / dx。现在,我们必须摆脱导数。衍生品摆脱什么?积分,我们必须做一个积分。我要开始通过分离的部分。这些被称为可分离变量微分方程,因为我们要把它变成一个点轻易的分开做积分。我要两边同时乘以dx和我有这个,我有dy xa²= 3 dx。

现在,我想摆脱的差异,所以我要整合双方。这条边是对y积分,这是整合对x。dy的积分是y,和积分3 xa²的漂亮和整洁。这只是xA³。但请记住,当你做一个积分,这不是一个定积分,你有你的老朋友+ C,积分常数。的初始条件。因为,不管这个常数是什么,如果我们做这个的导数,它就会消失,方程看起来像这样。这就是为什么有如此多的解决方案。由于常数可以任何你想要的,这就是所谓的家庭的方程。

我们几乎完成了。所有我需要做的就是用这个数据来找出C。所以我代替,我把10的y,和我有一个1 x。这是10 = 1³+ c .我只是回去用这个方程,数据点。足够简单,C是9工作,我们有我们的解决方案。

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这个解决方案是y = xA³+ 9。现在让我们尝试更困难。这个问题是问我们再次找到一个特解,y = f (x) y ' * y-2x = 0,这是初始条件。回想我们的步骤。

我们不得不撤销导数通过不可或缺,但在我们这么做之前,我们必须分开。我们必须将y '替换为dy / dx。所以这个微分方程将dy / dx乘以y-2x = 0。现在由不同,我的意思是,你必须得到x和dx一侧,y和dy在另一边。

所以我要先给双方增加2 x。我这里2 x和dy / dx y。我要反的顺序,你就会明白为什么。所以y dy / dx。

现在我们必须分开。所以我要用dx两边。现在我们分开了。我们有金波一边和2新。时间积分。所以我们要做金波的积分等于2新发生的积分。

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y的积分,那么一个更大的权力y的第一个第二个是y。我们有y第二、我们需要一个校正系数,因为当我做丫²的导数,得到2 y。所以我需要校正因子的1/2。1/2的校正因子就是撤销,也和我要xA²。

现在我做了一些不定积分,所以我需要积分常数。你真的不需要它们双方因为常量加起来形成其他常量。只要我们有很多做我们的常数,可以忘记一个在另一边。现在最后一次,我们去之前我们解决了这个y的初始条件。这次实际上是比较容易,如果我们把现在的初始条件,之前我们做的平方根。

我要做另一个小东西。让我们去掉一半。我要两边同时乘以2。这是另一个小技巧,你可以用积分常数。2乘以1/2乘以丫²丫²。= 2 xa²+,这是两个常数的集成。因为我们不知道什么是不变的,我可以说这一切都是C1和2 * C1是恒定的2。我要把4 y,等于2 * 1 a²+常量。

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所以我们会有2 * 1,2,16,两边,看起来像我们的常数等于14。我们几乎已经完成了。替换成我们有丫²= 2 xa²+ 14的常数。我要做双方的平方根,这给了我y = + / - 2的平方根xa²+ 14。正负两个解决方案。你如何选择哪一个?

再去看看初始条件。f(1) + 4,我们有一个积极的结果。如果我有一个消极的平方根,我们永远不可能得到积极的结果。因此,我们将忽略正或负,并摆脱它。积极的解决方案是一个作品。

现在让我们去看看一个小细节。AP考试的你可能会看到这样的你会想,“噢,我的天哪!这看起来可怕。”No, it's actually one of the easiest problems in the world. It's asking me to find the slope and the differential equation. The slope is y'. You're really just being asked to substitute in to it to find out what y' is at that particular spot.

现在如果我解决这个y '我会y ' x / y = 2。看那,就把数字。y的特定位置,必须2 x是4,在这个位置和y是3在这个位置。

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让我们看,这可能取决于x和y,这是有可能的。结果是8/3。

我向上移动,我想改变现在的齿轮与微分方程无关。整合速度练习。现在你认为你看到这个词,你想,“我的天哪!我知道利率。”You look at this problem, and say; A water tank started out holding 1000 gallons at time t=0. The rate at which the tank is filled is given by such and such. So you think, "Oh men! This is a related rates problem." But it's not.

这是一种问题,不是经常在微积分的教科书所覆盖,但是他们不是那么难做,一旦你意识到发生了什么。现在,记住什么是速度。速度的速度是正在累积。如何积累?与一个积分。率是一个斜坡,斜坡是导数,导数和积分撤销。

不过,我们需要做的第一件事情是设置我们的完整的速率方程,因为他们只给了我们的一部分。他们告诉我们这种液体的速度正在补充道。所以它被添加的速度是40 t, 40倍的时间,乘以cos 5 ta²/ 500。所以液体添加率。这是一个变化的速率。但与此同时,排水是开放的底部和失去120加仑每分钟。

所以我们必须减去120,速度是一个常数。它总是120。现在,我们需要设置积分。当我们这样做,我们要把这个速度。

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我们必须将其集成时间跨度,我们积累的液体。就是从0到10。现在让我们看一看这个积分。你可以做这个积分。我的意思是,是的,你有5 ta²,那里是一个40 t,您可以使用代换积分法。但是你更有可能看到这类问题在美联社一部分测试,你可以使用一个计算器。如果你能使用一个计算器。如果你可以使用它,它会增加你的速度问题。只是使用它。

现在我不能经历的步骤,因为有很多不同的计算器。与我的计算器,我所做的就是类型在一个图表,这个方程,然后使用一个集成函数0和10的限制。你必须探索计算器找出这样的事情它是如何工作的。

我发现当我做它,我们积累了483加仑。让我们回到第二,还有最后一件事我们必须看看。

这坦克开始坚持一个1000加仑,注意我没有使用。我还没有使用。我没有的原因是,流体的速度被添加,量的积累,与它的开始。什么都没有,这并不包括在利率。我使用它。我们只是增加了483加仑,开始与1000年。所以有1483加仑坦克在最后的10分钟。

如果你看这个图的细节,你会发现,实际上第一分钟左右的夫妇,液体向下。我们开始用1000加仑,一会儿是排水速度比它被添加。

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这可能会导致你一个并发症,如果没有足够的液体。说你一开始在20加仑,排水0之前填满。但我们不必担心并发症在美联社测试,他们不会给任何棘手。你不用担心漏过去的底部。

现在我们将尝试第二个问题,有一个额外的精化。这是积分的中值定理。有几个关键词要注意的问题。我们进入这个问题之前,让我们再看一次中值定理。

中值定理,它可能是值得记忆的,因为你可能会看到它在选择题部分的测试。基本上它说的是,如果你把一个区域,然后除以面积是多么宽,你要找出平均值。现在,我自己,我可怕的记忆。我一直记得这一个的。

它是什么,它基本上一样建立一个矩形的面积积分。假设是正确的。让我们把它放在那里方便。让我们把B。如果你做什么你会发现积分曲线下面的面积和x轴。中值只是一个矩形的高度,宽度一样,基地。(b)之间的距离,它是基础的长度。和同一地区的矩形积分,可能比这个大一点,可能高。所以,矩形相同的面积积分。和矩形的高度值。

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现在的问题。它说管道中水流的速度是由时间加仑每分钟不能= 0。你不能有时间等于0,因为它是未定义的。问题是什么之间的平均流速t = 1和t = 5。

你可能真的会说,“你知道我要把1放在这里,发现率,把5在那里发现率,和我们在业务。只是添加和除以2。”If you do that you'll get the wrong answer, and if this is the multiple choice question, that answer will probably be waiting for you to trap you. They always put in the answers for the common mistakes. No, instead we still have to integrate.

关键字和平均速度。记住过去的问题,我们所做的就是,我们做了一个利率找出多少积累了添加到池中。如果我们有分歧,通过用了多长时间进入水箱,我们会平均流速。这就是我们要做的。

所以,我们要做的从1到5的积分,这是我们正在研究的时间跨度和10 / tA²。我要写出来的数量,这是要添加的量。最后我们就除以用了多长时间发生。

你可以把1 / (b)因素,所以它看起来像中值定理。但是你真的不需要如果你理解发生了什么。我要重写这个积分一点之前我整合。你可以在你的头顶。但是如果你不能,请记住tA²的分母是t -第二的分子。

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所以我们有10 t 2, dt和更多的权力那么2是1。所以我有1 -10 t。-来自校正因子,因为如果你做的导数t 1你得到t 2。那消极的纠正。和集成从1到5的极限。让我们继续完成这个,我们差不多做完了。

所以我要把这-10前面一个因素,它会救我一点时间。和t 1是1 / t。替代的5,所以给你1 1/5 - 1 / t / t,当t = 1是1/1。所以1/5 - 1是-4/5乘以10 + 8。所以8加仑补充道,尽管最后一个步骤。

从1到5分钟,才被添加,所以平均利率将会是8加仑,补充说,除以多久了4分钟。所以,8除以4等于2加仑每分钟。

这一集覆盖两种截然不同的主题,微分方程和积分率问题。你将很有可能看到他们在美联社测试,确保你研究它们。现在还有另一个发现集成利率问题,它叫做总距离的问题。但我们会在另一个事件。[0:20:00]