功能图

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增加和减少功能是AP测试的关键主题。实际上，您必须确保您必须找到一些最低限度，一些最大值，可能会增加和减小的间隔。您可能必须找到一些凹度，拐点，整个位。这次，我们将基本上只是一个问题，并逐渐在一个问题上开发所有这些方面。

我讨厌对此成为极端主义者，但是，我绝对可以肯定，您将在AP测试中面对其中一些。相对和绝对极端是图形达到的最高和最低点。在整个区域中，绝对是最高和最低的，或者相对是特定部分中的最高和最低限制。我们来看一下。

因此，我们在这里有一个问题，必须在-4到+4的闭合间隔上查看此图。因为这是一个封闭的间隔，所以您可以具有绝对最大值或最小值。如果不是封闭的间隔，则可能没有绝对最大值或最小值。看着我们的图，看来4上方是这里的位置，这是一个封闭的间隔，因此这似乎是我们的绝对最大值。

请记住，如果那是一个开放的圆圈，换句话说，如果这是一个开放的括号，那将是一个开放的间隔，并且确实没有绝对的最大值。这是最小的。我不知道这是现在的绝对或相对最低限度，我们将在一分钟内找到答案。这个肯定看起来是相对最大的。这是其地区最高的位置。小心这张图。

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它有一个小问题，如果您在计算器上看到这些问题，它可能会欺骗您。此间隔最低的是-4。直上高于-4就在那里。因此，我们什至不应该在图表上查看该区域，所以只会忽略它。这可能是相对最小的，这可能是绝对的最低限度。让我们找出答案。

我们将有四个地方进行测试。这两个地方的两个终点。很多时候，学生会去参与所有步骤终点。但是终点很重要。但是，让我们去找这个。

Remember last episode, what we did was we found the places where the slope was 0, in other words where the tangent line was horizontal. That gives you relative maximums and minimums. Take the derivative. The derivative of this is 3 times 1/3. One power less than 3 + 2x - 3 and then said it equals 0. 0 equals x² + 2x - 3. That's a really one to factor and solve, I'm just going to cut to what the solutions are. The x values are at -3 and +1. The next thing we have to do is to test all of these locations so I have to put -4 into the original function, -3, +1 and +4 into it, to prove which ones are the minimums and maximums.

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如果您在免费响应部分中看到其中一个，则可以预计您将显示最低或最大值的证据。让我们这样做。证明。

如果我将-4放入原始功能中，则F（-4）是5/3。现在，我们将-3放入功能中。f（-3）代替那里，将被证明为4。我将在图表上写下其他两个。如果将1个放在公式中，则将获得-6 2/3的结果。如果将+4放入其中，您将获得20 1/3的结果。

因此，让我们现在分析所有这些。看起来它最小的是-6 2/3。这是间隔的绝对最小值。20 1/3，有史以来最高，这是绝对最大的。这是相对的最低限度，它不是有史以来最低的，但它是该部分中最低的。相对最大值，看起来像4。

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增加和减少间隔。这些是图表的截面，其中该函数的结果正在增加或减小。这听起来像是这样。我们将继续解决我们刚刚做的问题，并将其作为额外的步骤。

您记得上次我们采用衍生物时，我们使用衍生物来找到最小值和最大值。查看此图，您可以看到这看起来像是从这里到这里的越来越多的间隔。请记住，该图的一部分并不计算此问题。另一个不断增加的间隔看起来像从这里到这里，而减少的部分从那里到那里。您可能不会在AP测试上看到图形，您可能必须在不允许图形和计算器的部分中进行此操作。因此，您需要知道如何手动证明它。

好吧，如果增加，图表必须正确？它的发展越来越大，这意味着坡度是积极的。因此，您真正需要做的就是找出部分内坡度是正面还是负面，并确定其在增加或减少。您必须设置间隔。因此，我们的间隔在-4和-3之间。我们在-3和+1之间的间隔和+1和+4之间的间隔。您需要选择测试号以将其放入公式中。所以我已经提前挑选了一些。我挑选出-3.5，那是x值。我挑选出0，然后挑选出2。-3.5在间隔1中为1，在间隔2中为0，数字2在第三个间隔中。

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Well, how do you find out if the slope is positive or negative? Use your slope formula. I'm going to substitute these in. Now, again, on the AP test you are going to be required to show some proof if it's in the free response. But the proof doesn't have to be anything more than a little chart showing what you got for the result. So I'll make this into a little chart with x values and f'(x). So if you put -3.5 into the slope formula, the result you get is +2.25. The exact number necessarily doesn't matter. All you care about is if it's positive or negative.

因此，为了证明您知道自己在说什么，只需写下大于0的证明，这足以证明您可以去说，斜坡大于0，这是一个增加的间隔。这种增加的间隔始于-4，但不包括-3。它不能包括-3，因为它停止在那里增加。您必须这样写。左侧的闭合间隔，右侧打开间隔。确保正确的符号，您将在AP测试中对此进行评分。

下一节，如果我将其替换为0，则F'（0）很容易，-3。那小于0，这意味着坡度为负，这意味着它越来越降低，这是我们的间隔减少。减小的间隔在终点-3和+1之间进行。同样，它不包括其中，因为这些位置为0，并且在0。您必须像这样写的那一刻都不会增加或减少。开放括号（-3，1）

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Last section, if you substitute 2 in, the result of substituting 2 into the slope formula is 5. You don't care what the number is, you just care it's a positive. It is a positive and since it's a positive, the slope is going up, it's an increasing interval. Increasing interval starts at 1, goes up to 4. Doesn't include 1, but since it's closed, it does include 4.

Inflection points and concavity. This is a little bit harder than what you just did. It's really pretty obvious to see when you have an increasing or a decreasing slope. Inflection points are tougher to see. They are the places where the slope stops increasing or decreasing and reverses. For example, you're going along on a curve, it's getting steeper and steeper. The inflection point is where it's still getting steeper but not as rapidly. That's kind of tough to see. Back to the same problem.

当变化速率达到0时，拐点就会发生。嗯，这是第二个导数。因此，我们将使用第一个衍生物回到此原始功能。第二个导数仅为2x +2。如果将其设置为等于0，那么您将在这里找到拐点。我将在图表上向您展示他们。拐点可能是关键点也可能不是关键点。关键点记住，斜坡实际上等于0的地方。这是一个关键点。坡度为0，但不是您称其为拐点的地方。

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但是，这是一个拐点，因为这是斜坡停止变得更加负面并且开始变得越来越少的地方。这是一个关键点，但不是一个拐点。在这里，坡度似乎越来越陡峭，因此可能没有其他拐点。让我们确定找出答案。

您知道，当斜率的斜率（换句话说）等于0时，发生拐点就会发生0。因此，0等于2x + 2，这很容易，1x等于-1。那是我们唯一的拐点。因此，我们知道拐点发生在x等于-1处。而y的坐标，我只是在这里猜测。看起来大约是-1。某物。

有时您会被要求给出全部点，有时只是x坐标。我现在就为此留下问号。凹。凹面是指它是否以负面的凹面或向上吹来，积极的凹陷向下进行。可以使用第二个衍生物测试凹度。如果将一个数字替换为第二个导数会给您带来负面结果，那么您将获得负面的凹度。这看起来像是一个负面凹的部分，这看起来像是一个积极的凹陷。但是我们将进行几个测试编号以找出答案。我在看这个，好-3。这是一个不错的整洁点，是-1和-4之间的间隔。 Test it out.

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Again, you have to show proof on these things. So I'm going to make a chart like I did in the last episode. One of the intervals has -3 as a test number. I could have picked -2 or -3.5 or something like that. In this next interval, 0 is nice and neat. We'll use that as a test number. This chart should say that you have the double derivative. And if you substitute these in, y''(-3) turns out to be -4. You don't care about the actual number again, you just care about positive or negative. That is less than 0, and that tells us that at that spot it's concave down. It's going to be concave down all the way between the end point and the inflection point. Concave down between -4, includes the -4 and -1.

但这不包括-1，因为这是凹面暂时为0的位置，换句话说是一个拐点。测试下一个区域。如果我将0放入双导数公式中，那么我将要获得的很容易，而且双衍生结果的结果大于0。因此，这告诉我们该区域具有正凹度。因此，它是-1之间的凹入，不包括-1和+4。它不包括+4，因为那是一个封闭的间隔。我将在这里快速进行旁注。

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还记得本集的开始时，我们在谈论找到最大值和最小值吗？好吧，那时我省略了一个细节。拥有0的斜率并不能真正证明它是最大还是最小值，还有更多。在这里看看这个。请记住，您是第一个衍生物来找到关键点，然后在0中代替第一个衍生物。我们会尽快做到这一点。

因此，g'将是3xâ² -12x + 12，然后在0中代替G'。如果您这样做，那么您将要发现的是，这里的位置是斜坡为0的地方。这是一个关键点。但是看看图。这不是最低限度。这不是最大的。事实证明，如果您执行下一个导数，即双衍生物，那也是双衍生物为0的地方。因此，这既是关键点又是一个拐点。如果这是一个关键点和一个拐点，那么您不能说它是最低或最大值。我们将继续进行第一个和第二个衍生测试，以证明某物不是最低或最大值。

The first derivative test has a way of proving absolutely that you have a minimum or a maximum. On the free response section, it's not going to be enough to say, this is a minimum, this is a maximum. You have to prove it. But it won't take long. Looking at this little guy again, we have to prove that this is a relative minimum. You have to prove that that spot is a relative maximum.

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Remember in the first part of this episode, what we did was we found out that these were the spots where the slope equalled 0. Slope equals 0 when x equals -3 and the slope equals 0 when x equals +1. Well, what we have to do with the first derivative test to prove that it's a minimum or a maximum, is to find the slopes on either side. What I'm going to do is pick some numbers within the intervals, then I'm going to find the slopes and then I'll interpret it. We'll just try it again just like the last ones.

这次，我们确实在乎斜坡，但再次，只是它们是正面还是负面。第一个间隔在-4和-3之间，因此我将再次选择-3.5。下一个间隔在-3和+1之间，我将选择选择我最喜欢的数字，0。这是我最喜欢的数字，因为它太容易替代了。最后一个间隔在1到4之间，我想我会选择2。注意图表所说的内容，我们找到斜率，我们需要斜率编号。

因此，我将将它们替换为坡度公式，这是结果。-3.5的坡度为16.25。很陡。在0为-3时的斜率为2，斜率为5。这些斜率证明了我们是否有最小值或最大值。因此，如果您在这里看，斜坡是积极的，在这方面，您的斜率是负面的。

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这是证明的一部分。好吧，如果您在临界点的左侧有一个正斜率，而右侧有负斜率，则证明它必须是相对最大的。现在，我们已经证明-3是相对最大值。此间隔在这里具有负斜率，下一个间隔具有正斜率。如果您的临界点在左侧具有负斜率，右侧的斜率为正斜率，则必须具有绝对最小值，相对最小值。因此，相对最低为1。

最后一件事，第二个导数测试。第二个导数测试是证明最小值或最大值的另一种方法。如果您已经完成了第一个衍生测试以证明最低或最大值，请不要这样做，您将重复自己。但是，一旦看到了第二个导数测试，您可能永远都不想再进行第一个衍生测试。如果您的最大值，请查看凹度，它向下指向。您真正需要做的就是将该位置放入第二个衍生物，如果您得到负面结果，则凹陷是相对最大的。

那是反直观部分。负面通常会给您最大值。如果您能记住这一点，它可以节省很多时间。因此，我们将为第二个导数测试做的事情再次设置了我们的图表，但是这次在图表中我们不必进行三个间隔。我们要做的就是测试我们怀疑的最低和最大值的事情。这两个为-3和+1。

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And we're going to put them in the second derivative. Substituting into the second derivative, y"(-3) is going to be -4. That -4 is a negative result, it's less than 0. That proves that you're concave down and since you're concave down, that spot has to be a maximum. Substituting the 1. If you substitute 1 in there into the second derivative you'll get +4 for the result. +4 is greater than 0, that tells you it's concave upwards at that spot. If it's concave upwards at a critical point then you know it has to be a relative minimum. Relative minimum of 1.

在这一集中，我们已经介绍了大量细节。您可能不必在AP测试中的任何一个问题上执行所有这些步骤，但是最好为所有这些问题做好准备，因为有一个较长的免费响应问题之一可能会要求您做所有这些事情。同样，如果他们这样做，请记住，放入这些图表中。某种证据表明您知道自己正在证明您正在证明最小值，最大值，增加和减少间隔，拐点和凹陷。

您需要了解另一种事情。有时有问题说您具有形成完美锐利V的绝对值函数，在该V的底部，您无法执行衍生物。因此，您无法进行第一个和第二个导数测试。您还必须处理其他方法。

如果您查看奖金材料，那么涉及所有这些步骤的绝对价值功能的问题都非常好。确保您检查这些奖金材料，所有这些都在其中，包括整个解决方案。
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