相关费率问题

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相关费率；它们是一个非常有用的话题。非常非常有用。例如，让我们说一位为汽车公司工作的引擎设计师想要设计新的引擎。好吧，一部分发动机中有很多活动部件。例如，活塞正在上下移动。好吧，如果您想设计一种高效，轻便又便宜的引擎，您必须做什么，确保您使用适量的材料。

要做到这一点，您必须知道活塞上下的加速度，因此您知道使它们变得有多强大。相关费率可以帮助工程师弄清楚这一点。如果您现在看这一集，您应该先研究第7集中的隐性差异化。因为隐性区分是这种工作方式的核心。

我会说这个1、2、3、4，大概40次。学生在相关费率上犯的关键错误通常是在以前或在没有变化的变量中替代的衍生产品。让我再说一遍。如果您衍生出某种东西，那么您不应该替换任何可以改变的东西。等到衍生物之后。

因此，我们将在每种类型中进行许多常见的问题类型。我们要么解决一个完整的问题，要么至少解决问题。您会在奖金材料上找到所有这些。常见的问题类型；有球体。这些是通常的问题，因为半径在相对于音量方面发生变化。圆柱;通常是这样的水箱问题。类似的三角形和锥体，毕达哥拉斯定理和TRIG功能。触发功能通常是当角度变化时，而某种长度在变化时。

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球体是一种非常常见的问题类型，非常普遍。对于球体问题，您通常试图将半径变化的速度与体积变化的变化相关联。您可能会认为等等一分钟半径双倍，不应该仅翻倍吗？不，它没有这种方式。

这是我们要做的问题，但是让我再次向您展示我谈论半径改变的内容。我要做的是将两次空气吹到这个气球上，换句话说，固定音量，看看半径是如何变化的。因此半径上升了一定数量。实际上有很多。现在，我要再呼吸了两次。观察它发生了多少变化。相同的体积，但是半径没有变大，再一次。现在，半径几乎没有呼吸变化。好吧，那是因为随着它的越来越大，它需要越来越多的气体才能有效地填充越来越大的贝壳。

因此，半径变化的速率以及体积变化的速率变化。

因此，我们要找到气球半径在5厘米的半径上发生变化的速率，如果它以每秒10厘米的速度膨胀。那应该是立方厘米。我们的目标是找到气球半径在特定时间增加的速率，因为它的半径是5厘米。

当它较小时，体积以不同的速率减小，或者半径以不同的速率增加。当它更大时，速率再次改变。请记住，越大，半径变化越慢。现在，我在这里注意到有些错误。它说的是以每秒10平方英厘米的速度膨胀。

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那应该是每秒立方厘米。我在这里设置数据图。我真的建议这样做。这些数据图是真正帮助您组织信息的图表。它可以帮助您意识到自己的问题是什么。当您从抛物线中提取数字时，您可以填写数字。因为有很多数字，您通常必须要设置其中一个。

DR DR，那是半径变化的速率。那我们被要求找到什么。因此，请在那里放一个问号。DV超过DT，这是体积的变化速率。我们给了那个。那是每秒10立方厘米。现在半径是5，但是我会把它放在引号上，因为这只有在一定的瞬间发生。您可以使用那个，直到问题结束为止。

接下来，您必须提出基本方程。基本方程总是必须关联问题要求您联系的两件事。我们必须将这两个速率联系起来，这意味着我们必须拥有将数量与半径相关的东西。它是一个气球。气球基本上是一个球体，球体的体积公式为4/3 pir³。音量为4/3 pir³。

您在几何学上听到了最后一个。您可能应该记住它。在进入AP测试之前，您可能应该知道许多基本卷公式。这是其中之一。另一个是圆柱体的音量公式。另一个是Prism等的音量公式。


让我们继续解决问题。所以这里是公式。我有v，其中有r，但是我应该有DR和DV。那隐含的区别从何而来。

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现在，您还记得在隐性差异情节中，我们一直在dy dy to dy to to to to to to dy to dy，因为那是试图找到常规斜率的。我们必须找到DT，这是相对于时间而变化的速率。您所做的大多数相关费率问题都会涉及时间。

因此，在双方，我们要在dt上进行d，d dt，d dt dt。现在d超过了DT，单个变量的派生。如果这是t，它的导数将仅为1，即使不只是t。因此，请记住隐式区分真的像链条规则。因此，我必须将DV胜过DT因子，因为我真的不知道T和V如何相关。是的，我知道您在这里有这个，但是不要使用它。这会使它变得一团糟。

请注意，即使它是5。我要说一百万次。更改的任何东西应该被替换到以后。您可以将3.14放入PI，因为这永远不会改变。在这方面，我们将有3次4/3次是4。我在这里做衍生物。PI是一个恒定的因素，因此它只是留在那里。衍生物r³我仍然继续这样做。记住是3r³；3将4/3变成4。因此，我们有R²因子，而我将作为时间写这句话。这是一个链条规则因素，在这种情况下，dt dr是哪个。 We are getting close to done, just about finished.

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现在，我们将能够在下一步进行替代。在这一点上，我们可以替代任何东西。因此，我可以将10放入DT上的DV。我可以将R²投入5个，因为现在我们有一个速率，我们可以代替正在改变的事物。因此，我们有4次PI倍DT乘以DT。我们几乎完成了。我们的目标是找到半径相对于时间变化的速率。所以我为此解决了，我做了。因此，我们的最终结果是在这里等于dt的DR，我得到了4次25，那是100。将两面除以100，在这里为您提供1/10。我当然翻了一面。 I still have the pi factor, and we?re done.

气缸是常见的问题类型之一。您知道看起来像这样的老朋友。好吧，就圆柱体而言，您需要知道的是为此的公式。其基数面积是圆柱体的高度。基本公式；你要记住那个。您可能会有一个气缸问题，水位就像这样在水箱内稳定移动。

这是一个相对容易的问题。所以我们不会对那些人做。您可能有这样的人，但我认为这是圆柱体在哪里的情况。当它填满这些时，您的矩形在那里增加。尽管您不太可能在AP测试中看到这一点，但我们也不会这样做。它很复杂。

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我们要去另一个真正常见的问题类型，即圆锥形储层。因此，随着水平的提高，我们刚刚谈论的所有内容都内置在这种类型的问题中。如果您可以做到这一点，则可以做其他事情。

所以这是一个小例子。您的顶部有一个直径10米的圆锥形水箱。它高20米，并以每分钟5立方米的速度排出。排干，注意这个词。水深在15米深的瞬间下降了多快？

因此，在这张照片中，这个大锥体是储层本身。在这里，这个较小的圆锥体，水。还记得我们要真正地对待它，就像是两个不同的锥体。水的锥和水箱的锥。我们将稍后再回到这一点。

让我填写此处的信息，让我们看到。DH在DT上很好，我们被要求找出答案。深度下降的速度有多快？深度是高度。DV超过DT，这是数量变化速率。立方米的量，但它的量减少了。您必须在这里有-5。高度，那是15，但是那是那些瞬间的瞬间之一。直到问题结束时，我们才不会使用该数字。因此，这是我们的数据准备就绪。 Quotation marks you?re not using that until the end of the problem.

现在记住，在相关的速率问题中，您总是必须具有将两件事的方程式，即您试图比较的两个数量。在这种情况下，体积和高度。我有点问题。看看音量，我们有高度，但是音量公式涉及另一个变量。

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我们必须以某种方式摆脱那个。你必须摆脱。我们想在制作衍生物之前做到这一点。好吧，摆脱它的方式是您可能从几何形状中记住的。下面是它的工作原理。

如果您查看这种整体形状，您会看到您的圆柱体。在气缸内，有一个正确的三角形。那个正确的三角形的高度为20。我要称呼该资本R。因此，这个正确的三角形具有已知的半径和已知的高度。

在这里，这是另一个右三角。这个右三角形是与水箱中的水有关的。现在，如果您看两个三角形，它们都是正确的三角形，它们都在这里具有相同的角度。好吧，如果两个三角形具有两个匹配的角度，那么它们彼此相似。这意味着侧长是比例的。那是从哪里来的。因此，小三角形的半径比的高度必须与大三角的高度比完全相同。

让我填写数字。我们不知道小家伙的身高或半径，但我们确实知道大一个的高度是20。我们确实知道，大个子的半径，这个三角形的一面是5与H和R相关。请记住，我们必须摆脱这个问题的变量是R，因为问题是要求我们找到高度变化率。所以我要为r解决这个问题。

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r，让我们看到你交叉乘数你得到5h等于20r。这意味着R将两侧划分为20。半径是高度的1/4。因此，我们发现半径是高度的¼。还记得我们这样做的原因，我们不想做衍生物，直到我们达到两个速度为止。我们应该关联的两个变量。那是h和v。所以我们必须摆脱r。替代。

因此，我们的体积等于1/3的PI次半径是高度的¼。代替。高度的1/4和一个正方形，半径是末端的高度。简化¼²的一点是1/16。1/16乘以1/3是1/48。1/48 pi我们有h²乘以另一个h。这等于音量。

好吧，现在我们必须做衍生物。在时间上照顾这个衍生物，在两侧的DT上d。我们有d dt equals的d，我会在此背后写下D d，但是从技术上讲，我真的不应该。我只是用完了一点空间。因此，对时间进行此类衍生物会给我们1/48 PI。

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h³的衍生物为3h²，乘以3h²。但是H不是T，因此我们必须具有链条规则因素。DH上的DH。DH上的DH次数等于此处，DV越过DT。我们快完成了。我们做了衍生品，所以现在我们可以代替正在改变的数量。我们正在改变的数量就是这样。我们可以替换高度。我们可以代替。

让我再次写出来。两侧的DT上有更多的空间。因此，我们在DT上获得了DV等于1/16H²DH的DT。

现在我们可以去投入我们的数字。因此，我们的目标是找到高度变化的速度。我们没有那个，但我们确实知道卷正在改变。它每分钟失去5m³。我有1/16，问题是高度深15米。因此，我在DT上有15²次DH。简化了一点，解决了DH的DH，您得到了答案。我会留下来的。它只是一点算术。

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毕达哥拉斯定理一直出现在相关率问题中。让我们看一个。因此，这是您的一个例子，您在墙壁上滑动了一个梯子。典型的梯子以固定的速度滑下梯子。问题是，梯子末端距离地面16英尺处的瞬间从墙壁上移开的速度有多快。好吧，让我们的桌子填满我们的桌子。

我们应该找出基地移开的速度。这意味着X正在变化，因此DX超过DT是我们未知的。DH超过DT，尽管该数量的变化速度有多快，并且梯子的尖端是移动的东西，所以我们确实有一个速率。它是3，但是不要忘记这一点，因为它越来越小，您必须称其为-3。

X，从梯子的尖端到墙壁底部的距离为16英尺。但是，那是我要标记的那些小家伙之一，因为那是数量的变化，可以替换直到最后。梯子长度为20英尺。那永远不会改变。我们可以早些时候使用它。

因此，在这张幻灯片中，您会看到我们设置了毕达哥拉斯定理。h²+x²=l²。那是梯子距离底座的距离，距基座的高度。由于这没有改变，我们现在可以将20放入。因此，我们在这边有20²。h²和r²正在发生变化，因此我们可以用它代替它。h²加X²。现在，我们准备好对时间进行派生。D两侧的DT。d在这里dt上，d在这里dt。

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关于此的导数，我们具有h²的衍生物。但是，由于H不是T，因此我们必须将DH超过DT链规则因子次数DH。X²的导数为2X，但是由于X不是T，因此我们必须在DT链规则因子上具有DX。另一方面，20²的衍生物是一个常数，那是0。

这是我们离开的地方。我们在DT上有2H，DH，加上2X，DX在DT上。我们现在做了我们的衍生产品，所以我们可以自由地代替变化的事物。改变的东西，x 16。将16放入，我可以节省一些麻烦。请注意，这是2倍，这是2倍。我可以将双方除以2，以使这些因素消失，以节省我们的麻烦。

高度，我们实际上确实需要梯子的高度。我们终于可以做到了。它不在图表上，但事实证明我们需要它。我们知道这总是20岁。在我们做这个问题的瞬间，X是16。嗯，我们必须再次使用毕达哥拉斯定理，但是这次有几个数字。在那里的瞬间，一个平方和16²等于20²。高度在那一瞬间就达到了12个。将该数字放入；12 h。

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DH在DT上dt？S -3我们要把它放入。您将其拿到3，而DX在DT上得到了我们未知的DX。dt of dt等于0我们几乎完成了。因此2被分开。h用-3，x，用16替换为12，dh。如果我们对此做了一点代数，我们可以通过DT解决DX。我们的最终结果是DX超过DT等于9/4。它也需要将单位放入。由于这是脚，因此应为每秒英尺。

您的最后一种问题类型吗？LL看到将是三角问题。它们可以涉及罪恶或余弦或切线。您真的不知道，直到您开始设置为止。因此，我将基于我们刚刚做的问题，滑动梯子。但是这次我们要寻找的是它的天使在地面上的速度。那个就在这里，Theta。

因此，当您前进时，梯子向下滑动。该角度变得越来越小。因此，该角度变化的速率将根据正确的速率而变化。因此，现在我们必须确定所需的东西。

我们必须在这里有theta，因为那是为了变化的速率。我们必须在那里有H，因为我们将其与之相关的速度。所以现在我们要决定我们要使用正弦，余弦或切线吗？您想做什么，如果有什么可以改变的东西，您想将其构建到触发方程中。X正在改变，不要使用它。

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使用20. 20不会更改。如果您使用它？我们有一个基本方程，它与我们应该仅相关的两个变量关联了这两个变量。因此，这次我们甚至不需要替代。当然，您可以从这里持续到两侧的DT。我还没有什么可以替代的，因为这些变量发生了变化。

因此，d to dt到那里。我必须在后面写这篇文章。从技术上讲，这是不正确的，但是我想写它，让您知道我是双方的派生。因此，如果您在此上进行双方的派生派，那么这将为您提供DT的Theta Times D Theta的余弦。这里的这一侧让我们看到，H的衍生物是1，因此H 20以上的衍生物为1/120。1/120 dh在DT上。

我们做了衍生品，现在我们可以自由地代替任何变化的东西。我会在这里留下问题，您会在奖金材料中找到它，以及所有步骤，让您尝试完成自己。您将需要找到余弦和theta，但没有什么比这更容易了。因为您知道这是20岁，而您在16岁时就这样做了，这样您就可以通过使用毕达哥拉斯定理找到X来解决余弦，这没什么更简单的。

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在本集中，我们谈到了相关费率。谈到一个数量如何在另一个数量方面发生变化。我们首先讨论了不同的问题类型，其中每个类型的示例。还记得，直到您做那个衍生物之后，不要替代任何改变的东西。

所以我必须警告你的另一件事。您通常会在AP测试中发现相关率问题。您还看到了其他一些关于费率的问题，但是它们没有相关的费率问题。您会在AP Trick情节中找到很多。