限制

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限制是我们所做的一切的基础在微积分和美联社测试中,它总是问你几个。总会有一个或两个在选择题部分,通常在你不需要的部分使用计算器。好了,我们要开始复习一些基本的限制。然后我们会继续做一些更复杂的类型的问题,你可能会看到在美联社测试。让我们开始吧。

基本的限制。让我们看一看。基本限制在4水果口味。你有有限数量除以无穷,你有有限的数字除以0,你有无穷除以无穷大,0除以0。这些都是不可能的情况。

你怎么除以无穷?嗯,你不能。这就是限制了进来。你怎么除以0 ?你真的不能。这就是为什么你需要限制。限制数量的数字是不可能的。你几乎可以完全得到但真的永远不会到达那里,直到你无限接近。这是第一种,有限除以无穷。这将是艰难的。 100,000 divided into an infinite number of parts. If you divide 100,000 into one part, you get 100,000. You divide it into 10 parts you get 10,000. If you divide it into 100,000 parts you get 1. So the bigger the number on the bottom gets, the smaller the result gets. But if you divide 100,000 into an infinite number of parts, each of them has to be infinitely small, in other words, 0. So anything that's finite divided by infinity, always going to be a 0. No matter how big it is. This could be 62 billion up here and if you divide it by infinity, it'll still be a zero.

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然后你相反,一些有限的和除以0。所以如果你开始说,我们有x = 1,你得到-1000除以1。如果你让x小0.5,-1000除以0.5等于-2000。这将是更大的。我要做一个快速的图像。所以,你可能会意识到这是一个基本的双曲线函数。看起来像,y轴是渐近。

在这里,我们已经陷入了一点问题。你来自右侧,除以越来越小的正数,结果变得越来越消极。不过,如果你以这种方式来除以数字-但他们变得越来越接近0,这个变得越来越积极。这就是小+。它是关于小细节的处理。这个说我们要趋于0,数字会越来越接近0,但他们要从更大的一边。所以你有-1000除以越来越小的正数。看的,负无穷。

我们再来看看这个。现在,我们要的只是趋于0,不会担心积极或消极的作用。这一次我们有一个问题,如果我们从右边加上,结果朝负无穷。如果我们从左边进来,如果有负面的,我们进来的方法正无穷。

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最后一个例子是称为单侧极限。这是一个双面限制正常的限制。问题是,你如何决定你想用于负无穷或正无穷?你不来决定。如果限制不是来自两个方向相同,你不能说这是有限度的。你必须说它不存在。

下一个的味道。∞除以无穷。这是奇怪的。除以本身的东西。这通常是1。但奇怪的事情可能发生。看这个。有一个整洁的小技巧来做这个极限。你可能看到这个一分之一pre-calc你可能今年开始回顾了一遍。如果你有走向无限的东西,你有权力x的顶部和底部,寻找最大的x在分母上的力量。 That's x³. I'm going to divide the top by x³, which I can do legally as long as I divided the bottom by x³. I'm going to do that. Divide the numerator by x³. Divide the denominator by x³. And now, I'll do a little bit of simplifying. See that x³ can divide with the x³, that x can divide with the x³.

我写简化。所以我们有x趋于无穷时的分子。xA³除以xA³是1。X除以xA³是1 / xA²。下面2 xA³除以xA³2和xA²除以xA³是1 / x。我们现在的业务。现在我可以把无穷,因为认识到吗?

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1 / xA³吗?有限/无限。有限/无限是0。不重要了。这里,有限数量除以无限,这是0。这讨厌的除以无穷了。还剩下什么?1/2。疯了,嗯?这整件事就简化了1/2。 If you were to put this out on graph, that formula, what you'd find is that it levels off at a height of 1/2. You've probably done this before. Horizontal asymptotes. We'll handle those in another episode.

最后一个类型;0除以0。你不能把任何东西除以0包括本身。所以我们要再做一个限制,因为限制让你把东西通常不能分裂。在这一个,准备好这个方法是因素。将会使这个漂亮整洁。在顶部,保理,xA²+ x 6。只是一个普通的旧二项式系数代数1日以来一直在做的。好又简单。如果你图,你会发现的一件事是,你有x - 2因子在顶部和底部。 That means it can divide out. But on the graph, when you divided it out, you wind up having a little gap in the graph. No need to worry about that right now though.

我们需要担心的就是这个。一开始我们把2放在那里,因为这将迫使我们做2 - 2就是0。你不能除以0。但现在突然之间,你不再分裂。所有你要做的就是把2 x和你的结果是2 + 3或5。

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如果你图这个公式,当你越来越接近2,你会有一个点在图5,一个开放的循环。

让我们解决一些样例问题。现在,这些问题我将告诉你在本节的的你会看到美联社测试。他们将很少问任何基础。我要给你的,现在出来的非常普遍。首先,我们有两个很重要的限制,您需要记住。的一个限制是sin (x) / x x趋于0,只有当x趋于0但结果是1。令人惊讶,因为sin(0 = 0, 0除以0,如何给你一个1 ?好吧,在这种情况下。

有一个证明为何如此。它不能做任何我刚给你们看的基本技术。另一个,你可能看到的是1-cosine x / x。这一次当你靠近的极限0 = 0。抱歉告诉你这个,但是记住他们,克服它。他们在美联社测试。你没有时间来证明,你没有时间来与他们的基础知识。只是记住它们。特别是这一个。如果你要记住任何一个限制,就是这样。 Let's use it in a problem. This is a really common variation that you can see on this. You might think, sine x/x, the limit is going to be 1. There is a little problem, this is 5x and that's 2x. It's not really the same variable.

这个的关键是实现你必须让它是相同的变量。在这里我开始这样做。我做的第一件事就是因素这个2分母。这是我需要明确前进的方向。变量的罪是作用于5 x。

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我会没事如果底部有相同的变量,5 x。这可以真正令人困惑的学生,因为你知道,这不是一个变量,它的5倍。X是一个变量,5 X不是。变量可以有多个组件。你可以治疗5 x作为如果它是一个变量,这将让这部分的限制成为1。当然,我不能只是底部乘以5,说它是一样的,没有办法。但我可以平衡。我底部除以5,所以如果我顶部乘以5,然后业务,我重新平衡。我们几乎完成了。我要做这个极限。

1/2停留在那里,正弦函数的极限的一些变量除以相同的变量你接近0 = 1。乘以5除以1的因素,我们要进城。答案是5 1/2。让我们试试另一个。这是诱人的。你可能会说,噢,我的天哪,看看这个。广场,广场,他们是相互抵消的。我们可以去城镇限制是0。不,对不起。余弦的极限是1 -只是一个纯余弦/只有一个普通x。但是我可以做一些事情。 The reason I wrote this down here, the Pythagorean identity, is because it's the key to doing this one. I'm going to rearrange this. I need 1 - cosine squared so I could take this and subtract cosine squared from both sides. So I get sin squared equals 1 - cosine squared. I hope you'll forgive me for being lazy, I really shouldn't leave the variable off but I want to save time. 1 - cosine squared can be replaced with sine squared and I'm going to do that now.

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1 -余弦平方是正弦平方。我把变量现在回来,因为它真的很重要。变量必须匹配。等一下,毕竟不是一个余弦。这真的是正弦。它仍然是不像我们需要。因为它是方,方底,但这很容易处理。正弦平方等于正弦x乘以sin (x)。这样我就可以把这个分成两个不同的限制。的极限0 sin (x) / x乘以另一个sin (x) / x。现在我有两个我们刚刚做的这些限制。

这个极限是1,一个是1。1 * 1 = 1。这是另一个类型的你也许有点不太可能看到众所周知,但它是出现在测试这是一个令人惊讶的事实。看看这里。我们有一个平方根顶部和顶部,底部没有根。记得在代数1特别是代数2和很多有关微积分的知识,当你一遍又一遍地被告知,从来没有在底部留根。你猜怎么着?我们要让这平方根是在底部。这是一个整洁的小技巧会使这一工作。现在,我要做的是乘以它的共轭,顶部和底部。 So that is square root of 9+x+3 over square root of 9-x+3.

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现在如果我发布这个,这就是我得到的。9的平方根+ x乘以本身是9 + x,这是正方形的区别。这两个相乘和这两个相乘加起来等于0和3 * 3 = 9。在底部,我没有把这个x通过,是有原因的。看看我们这里有顶部。9 + 9。9 + 9 = 0,这是一去不复返了。看看这个小美女,x除以x, x除以x = 1。

现在让我们来看看发生了什么。之前,如果我们把0在这里我们会除以0,这是不可能的但现在看看会发生什么当我们试图除以你把0。我真的要取代它,看看会发生什么。所以我们有一个顶部和在分母上我们有9 +的平方根,我要把一个0 x + 3。√9 + 0 = 3。这是1/3 + 3。你可以这样做。答案是1/6。我们有一点更多的覆盖在这段。这是一个特别注意。 As scary as it looks, this is actually an easy problem once you know what to do. In one of our episodes we've gone over the manual derivatives. You might want to go back and review that. That's where this definition comes from.

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导数,导数的定义是它的极限,当x接近0,所有这些。所以的功能x +改变x - f (x) / x的变化。你除以0但仍产生一个斜坡。比较这两个。这就是技巧。只是认识,嘿,等一下。这只是定义了一些步骤替换。它看起来像f (x)是xA³。为了验证,看看这个。F (x) +改变x x是相同的变量的变化,h是相同的变量。

这是等价的。代替x + h到函数xA³。函数是xA³。这是我们最终的答案不会因为我们不做这个函数,我们发现函数的极限。函数导数的极限,所以我需要做的就是使用导数的快捷方式。嗯,你这样做已经在你的睡眠,可能因为第一季的开头或中间。3 xa²的导数。就是这样,这就是问题的关键。一旦你认识到几乎没有任何关系,噢,是的,这是一个导数。

让我们做一个因为有另一个变体在这一步。有极限接近0所以有手动导数的一部分。它有在底部。它看起来像函数是余弦但是现在没有x。但是如果有一个x,必须有一个x。

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这是余弦函数的导数。让我们看看,我们的函数,cos (x)。我们会担心π/ 2。因为我们正在做的极限,整个混乱,你知道结果是cos (x的导数。别忘了,正弦余弦函数的导数是负的。我们几乎完成了。如果我代替x,取而代之的是在最初的问题π/ 2,我得到f '(π/ 2)= - sinπ/ 2。π/ 2的弧度。sin(π/ 2,1。所以结果是1。-来自衍生品。

如果你遇到一个极限,你做不到,你开始觉得不舒服,去医院。它实际上是明显的洛必达法则的数学家命名的几百年前发明的。真的很整洁。你没有这样做的原因在刚开始的时候,当你第一次调查的限制是,它需要做衍生品和金融衍生品是基于极限。但这是一个很酷的事情。它可以节省你大量的时间。

基本上什么洛必达法则说的是,如果你做的一个限制的一小部分的东西,你可以做的导数顶部和底部分别的导数的极限,结果将会是一样的限制。不要错误地使用除法法则。洛必达法则不使用除法法则。所以,我们有限制趋于无穷。

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ln的5次方的极限。要用链式法则,我扔了,在看看我能赶上你。自然对数的导数是1 /无论对数的表演。1 / x的第五然后链式法则说我们要做5 x的导数。这是乘以5 x 4。在底部的导数x第四,我们分开做,是4 xa³。让我们照顾一点简化,因为我们不能替代无穷在这里,因为我们会有无穷除以正无穷,我们仍然做的。但是让我们简化一点,看看会发生什么。

你有当x趋于无穷。5 x 4除以5日是5 / x和这里有4 xa³,仍然更简化。所以我们得到了限制。我要懒惰和不写x接近无穷。5 / x除以4 xa³是5/4x第四。现在,我们没有无穷除以正无穷。我们有有限/无限。结果,是0。

这节课一开始用一个有趣的方向的基本限制,转向其他更复杂的限制,您可能会看到在美联社测试,随后的几个问题,包括识别导数,你很可能会看到在美联社测试。

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最后完成了与洛必达法则是一个伟大的快捷方式时可以使用它。我真的推荐你从网站上下载的补充材料。尝试一些棘手的限制只是为了得到这巩固了你的思想。