音量 - 横截面

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体积;有许多不同的方法可以在微积分中找到音量。我们暗示了其中一个回到了两行之间的情节中。让我告诉你我的意思。让我们说您有两条不同的曲线，您想去找到它们之间的区域。好吧，您会得到一些小部分的区域。如果您使这三个维度将直接向下。您什么？会得到一种形状，由堆栈和堆栈形状组成，它们都具有相同的区域。您可以使用它来找到该形状的音量。

另一种方法涉及取光盘并添加光盘。我们在使用光盘的卷中介绍了这一点。还有另一个带有我们不会覆盖的壳的外壳，因为通常不在AP测试中；很多方法。我们现在要覆盖的那个是使用横截面的音量。

横截面的体积非常有用。工程师可以在各种应用程序中使用这些东西来找到非常奇怪的形状的体积。让我们看一个。横截面问题通常是这样的。横截面是垂直于X轴的正方形。底座由X轴和函数确定。因此，我们可以从中提取的信息是正方形的基础。我们知道我们将使用横截面；因此，想象一下，有一堆小正方形，您可以加入卷。让我绘制其中的一些。我没有告诉你要注意的是垂直于什么基础，非常重要。 They can be perpendicular to the x axis, or to the y axis.

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这些垂直于X轴，底座由X轴和函数确定。因此，从函数到X轴，这将是我们矩形的底座。现在让我在这里画一个矩形。您必须想象这是3维，现在从形状上向外伸出来。如此这样。如果我画另一个，那么这不是一个大基地。它看起来像是一个稍小的正方形。

让我们绘制另一个。这是那个的正方形。它是一个较小的广场。看起来那样。画另一个；我们只是在做这些堆栈。它们的堆栈和堆栈。在这里抽出来，在这里抽出另一个。画另一个，现在是另一个。因此，您必须想象这看起来像一张牌。 They?re a sheath of paper; though the sizes of the sheaths of paper are changing as you go further and further out.

现在我要连接角落；这个角落的角。您会在三个维度上获得弯曲形状。这就像我们体积的底部表面。我们在尼斯和黑暗中掩盖了这一点，因此您可以看到十字架部分。在这里的这个角落，将这个角连接到该角，一直到那个角落。您会得到另一个怪异的曲线。因此，想象一下，如果您是木匠，或者像鹰的鼻子一样，我可以说这样的形状。如果您查看奖励材料，您会看到一些真正整洁的网站的链接，这些网站可以很好地制作这些形状的动画。

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是时候浏览涉及最简单类型的示例了；具有横截面或正方形的那些。我们将首先介绍这些步骤。然后，我们实际上要去做。这个要求您找到形状的体积。它为您提供了一个领域。通常需要给您一个域，尽管有些人可能会给您拦截，并且必须在域上找到您的域。

使用垂直于X轴的横截面和横截面为正方形；您提供了一个功能来帮助确定这些基础。首先，您要绘制并绘制它是一个好主意。我只会画几个基础。这是其中之一。从这里到这里的距离是函数负0的高度。因此，这里的好处是正方形的底部只是平方根负0。因此，您获得了？x plus 6的平方根。我不会打扰-0，因为它没有改变任何东西。其中一个的基础。

如果我去向上绘制，那是一个正方形。在正方形中，底座和高度相同。我们可以进入下一步；使用基本公式获取区域。好吧，像我们一样，正方形的区域是基本时间的高度，但是基础和高度是相同的。因此，每个正方形上的区域将是？x加6平方的平方根。基本时间的高度，它们是相同的，正方形进入了平方根。我很幸运。任何一个横截面的区域都是？x Plus 6.如果我们在正方形的另一个横截面中绘制了另一个，是的，它将是一个较小的正方形。它的面积将较少，但是这个公式将为我们提供该区域。

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因此，任何单个横截面的区域都只是？x Plus 6.区域是X Plus 6的负数。我们正准备完成此问题。从概念上讲，真的很奇怪的是，如果您有一个正方形，并且发现其区域，则没有任何厚度，因此没有任何音量。它无限薄。但是，如果您堆叠一大堆正方形，那么所有这些区域的数量实际上是怪异的，尽管它有效。

让我设置此。当您这样做时，您必须集成横截面。他们还将以相同的方式设置。它总是将成为该区域的组成部分，也许是DX或DY。这将是DX。因此，我们有一个积分。您可以跨正方形垂直于x的方向集成。所以0到6是我的域。那是我积分不可或缺的限制。我要整合？x加6dx。 So there is the set-up for that one, nice and simple.

让我们在这里吧。那么？x的积分是-1/2x²。6的积分为6倍。将其整合为0到6，这很快就变得容易了。我会为您留下替代品，简单而简单。我在那里写了区域。我误解了。那是卷。该卷是执行此积分不可分割的结果。这个数量将只有18个。

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我们的下一个问题是比第一个步骤要难得多。一件事要使我们重新整合的领域更难成为正方形。他们将成为矩形。那要困难得多，但这是您必须考虑的事情。第二件事要使这一问题更难的是，它不是将基础定义为函数和X轴之间的距离，而是将其定义为两个不同函数之间的距离。

找到形状的体积。我们的域将使用垂直于X轴的横截面在0到3之间。这次横截面是矩形。它们的基础由Y等于x²减9的功能确定。y在这里等于2倍负6。矩形高度将是其基础的两倍。那是其中一个矩形的基础。

现在，如果我想找出那是多远，该图可以帮助我看到它的功能负功能。线性函数减去二次。那么，让我们这样做。一个基础等于看一下线性，即s -2x加6，负6，因为始终通过减去X²负9来完成距离；减去X²负9.让我简化一点。然后，基数等于x²负2x的负。6减-9是15。似乎所有这些负面因素都将为您提供没有积极成果的基础，但它们会。

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例如，如果将0放在此上，则-0²减2倍0加15gives您在此处和此处之间的基础高度为15。很好，没问题。回想一下最后一个问题。找到基地后，我们必须在整合之前做些事情。你整合什么？区域。因此，您需要区域。现在我们有矩形。每当您做这些问题之一时，您都必须意识到我们要整合哪种形状。最后一个是正方形，那是矩形。 Any Geometric shape is possible.

矩形是基本时间的高度，因此上面的区域。高度是基地的两倍。基础，基础时间高度。如果高度是基地的两倍，那么您有基本时间，我可以用2B替换高度。您不一定需要表现出很多工作。您可能可以在脑海中弄清楚。我们要做那个时候。基础时间基础，然后加倍。

我们将拥有括号的2倍。基础是-x²负2x，加上15。现在你说哦！
我的疼痛。您将不得不对那个三项官方进行平衡，因为还记得那是基本时代的基础。每个基数为-x²负2x以上15。因此，为了节省一些时间，我已经做到了。我会变得懒惰。我会写下来。因此，在整个混乱之后分配后的区域是第四次，加上12x³，减去52x²，减去120倍，再加上450。

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好吧，在我去思考你要做什么之前。这些问题有很多步骤。很容易陷入脚步，然后恐慌。我们再次找到了基数的大小，然后计算了单个矩形的面积。现在，我们将整合所有这些领域。因此，这次我们的音量是我们必须集成的整体0到3的整体组成部分。2倍到第四，再加上12倍，减去52x²，减去120倍，再加上450。您将不得不进行大量替代，很多计算。为了节省一些时间，我在屏幕外再次做到了这一点。如果正确执行此组成部分，则可能需要尝试练习。 You?re going to get a volume of 3,006 over 5 which is 601.2.

请记住，我说的是，横截面可以是任何几何形状。这次我们要尝试半圆。我要抛出另一个转折。使用垂直于Y轴的横截面找到具有0到3之间的域的体积。该函数在x上确定。我们将不得不处理。

让我先将其提出来。我们想使用0到3的域。

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x等于0至x等于3。有x等于3。横截面将必须集成。转到垂直于Y轴的Y轴。换句话说，基础是这里和这里之间的距离。我们必须将其更改为Y的函数，以便我们可以找到距离。

距离将是y负0的函数，因为该点位于x坐标为0。因此，我们的横截面像这样堆叠。我们会担心那3。这不会为y而难以解决。记住你是怎么做到的。这不太艰难。您得到的x等于x²。我会用y代替x的f。那会使事情变得容易一些。y等于x²。基本上我是逆的。

现在让我们看到。我们将做两侧的平方根。您得到X是加上或减去y的平方根。看着我们拥有的这个领域，我们总是会对X具有正值的价值，因此我们不希望在那里减去。我们只想要它的积极版本。最后一件事;x等于y的平方根。如果您在函数符号中写下此，我们将不再具有x的函数；我们有y的函数。y的功能是y的平方根。 So if you pick any y value you want like say 4, the square root of 4 is 2. This location would be at 2; this location would be at 1. That distance is 2. 2 minus 0 is 2. That?s our base.

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现在我们有了一个基地，我们会继续前进，只需一秒钟即可制作交叉部分。任何单独的横截面看起来都这样。它是半圆形。在继续这样做之前，为什么我们不弄清楚限制？记住我之前说的。当您进行集成时，集成必须在您垂直于的轴上。这次，塑造了您？重新集成，它们垂直于Y轴。因此，在进行整体不可或缺之前，我需要知道Y限制，而不是X限制。幸运的是，他们不难找出答案。

域x等于0，当x等于0时，y等于0。3是域中的另一个数字，但是如果三个数字是3²，则为9。我们将使用0和9用于集成的限制。我们现在要切下一个屏幕，因为我们需要计算出区域公式。记住y等于y的平方根。

半圆形横截面。我们知道从这里到这里的距离是y的平方根。那是一半的圆。如果您要找到一个圆的区域，则需要半径。这是您真正可以赶上的地方。那不是半径，直径。因此，它的半径是y的½平方根。从那里到那里的距离，½的平方根的½。

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现在，我们可以继续使用区域公式为我们的圆圈。区域等于pir²，但要等待圆圈；它是半圆形的，所以我需要另一半。这一半与那一部分无关。这一半是将直径变成半径。这一半是将一个完整的圆圈变成半个圆圈。现在我们准备出发了。我必须弄清楚我们的公式是什么区域，这样我就可以将其放入不可或缺的一部分中。

我们有½PI，半径为Y的½平方根，因此将R用Y的½平方根替换为Y。那将是平方的。不像看起来那样难。正方形，平方根为y。½平方根ID¼倍半倍是1/8。我们去。区域为1/8 pi y。现在，我们必须将它们整合在一起。

音量是不可或缺的。这是y的函数，因此请记住，我们的限制必须是y数字。不是问题中给出的0和3，而是如果将这些域限制到功能中，您将获得的0和9。我们重新堆叠区域。每个区域都是1/8 pi y，很容易。整合了这一点，您会让y再看到y是y²的。我做了一个校正因子。该校正因子是分数的½端。这个1/8不会改变您需要校正因子的事实。

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因此，我们从0到9到9Y²Y²Y 1次½倍。有了一点替代，您可以轻松获得最终答案。这是16岁以上的81 pi;一块很棒的PI。在那里，横截面。

我们介绍了3个不同的练习问题，三个不同的设置。第一个是一个相当基本的，其中横截面是垂直于X轴的正方形。第二个是垂直于X轴的矩形，并有一点额外的并发症，使基地更难找到。第三个是垂直于Y轴的半圆。

现在有一点跟进。我想建议您做两件不同的事情。一个是再次解决第二个问题。涉及矩形的横截面的一个。将其设置在计算器中。您可能会在AP测试的“计算器”部分中看到其中之一，在这种情况下，您不想执行所有这些权力以及所有为此分发的功能，这句话犯了错误的机会太多了。

您要在将其放入计算器中之前尽可能地回去。因此，我再次建议您在计算器上再次尝试。我在奖金问题中为此提供了完整的设置。我建议的另一件事是，在奖励问题中，有一个涉及等边三角形的问题，我认为您应该尝试一下。好吧，与此同时，请记住时间像箭一样飞翔，像香蕉一样飞翔。