速度，加速度和距离

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Now that it?s time to discuss velocity and acceleration, we?ve better speed things up a little bit. Speed things up, accelerate. Yeah that was a joke, you probably didn?t get that. Anyhow, velocity, distance, acceleration are some of the most important things involving Calculus. At least I think so, because I?m a physics guy. Remember that a lot of Calculus at least for the start was developed by Isaac Newton in order to make his Physics work. Besides the great Isaac Newton, you also need to know this stuff, because there?s a lot of it on the AP test.

Velocity; it?s a rate of change. It?s the rate at which distance is changing with time. Let?s have a look. Here is your old friend; distance equals rate times time. You got that one around about fourth grade maybe. If you take this and solve it algebraically so that rate is by itself, you?ve got rate that equals distance over time. By distance what you mean is how far the location changes. It?s often called change in distance. Then the time is really the change in time, how much time went by. Well, these are differences. If you make differences smaller and smaller and smaller just like you do all the time in Calculus, instead of having delta d, you have dd, as in dd over dt.

是的。您所要做的就是采用一个距离方程；依靠时间来派生，您获得了速度方程。进一步迈出一步，加速度是随着时间的推移的变化速度。因此，加速度是速度的导数。速度是距离的导数，它也逆转。

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这是基本运动学方程。您几乎可以肯定的是在物理课上。您可能没有其中包含D0的表格。D0只是对象的起始位置。这很酷。我喜欢展示这个。记住我们刚才所说的；速度是距离的变化率。因此，我要dt dt dt到双方以找到衍生物。因此，我在t的d两侧都有D dt。 Don?t let it confuse you that you get d here and d here. This is the differential. This is d for distance. I know it?s confusing. Sometimes to avoid this confusion, you will see the distance listed as r. It?s pretty common.

We have to do the derivative of both sides. We?ve got ½ 80²+ v0t+d0. Derivative of this one is the velocity with respect to 10. Let?s see, we have to do the derivative. The variable here is t. That?s one thing that can confuse you. A for this equation is a constant. It?s just a number; v sub 0 that?s the starting velocity. That?s just a number. D sub 0, that?s the starting location. That?s just a number. It makes a difference when you do the derivatives. So the only working variable here is actually the t. Derivative of t² is 2t times the ½ just gives you 80. The derivative of this it?s really just one power of t, one power less is 0 powers. All that?s left of that is v0. The derivative of that constant is just 0, look at that. It?s another one of the Physics equations.

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速度等于加速度时间，如果您有一个速度，加上起始速度。再进一步，如果我这样做，我会加速。加速度时间的导数，时间是这里唯一的变量只是加速度。那是一个不变的速度。它是一个常数，因此它的导数为0。

是时候练习了。我们现在要做的是使用衍生物，速度和加速度。让我们开始，看看我们给了什么。我们有距离。粒子的移动使其与起点的距离由t的等式d给出，等于t²次E与3T。找到它的速度。看到并看到您给出的是什么，您应该找到什么？

现在，我们只是做了一些涉及衍生物的事情。这也将涉及一个衍生物，但是您需要做好准备，以使其可以使用。距离的派生是速度，但是您可能会出现一个问题，即您给定速度方程式，您要求找到距离。逆转它涉及一个不可或缺的内容。

我们去上班吧。我们应该这样做。因此，在任何给定时间的速度是t的距离d素数的导数。因此，t²乘以3T（3T），这是一个可变因素。这将采用产品规则。请记住，乘积规则是第一部分的导数倍于第二个因子的非衍生物，第一个因子的非衍生物乘以第二个因子的衍生物。

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第一个因子的导数为2t，次，第二个因子的非衍生物，以及第一个因子的非衍生因素，第二个因子的衍生物。那不仅是t。它是3T。这是一种链产品组合。好吧，如果我做链的部分，则3t的衍生物仅为3。e的衍生物对3T的衍生物，其余部分是e到3T。

我们有一个方程式，我们可以简化这一点。让我们的事情稍微付诸实践。请注意，它们都具有3T因子。让我接受。从长远来看，实际上简化了一些事情。因此，我们有2次T加t第一，并将E纳入3T功率。我们去。这一点完成了。我们得到了这一速度。我们完了吗？ We?re not.

您可能会遇到一些问题，找到方程是方程式。这不是其中之一。这是您应该找到方程式并实际使用它来做某事的地方。将时间等于3。因此，我们的V为3等于2倍3加3²倍E到3次3次3次。

如果您解决这个问题，您将获得大约的速度。这个很大。它是267,000。要看的最后一件事是检查单元。这个问题没有给我们仪表，几英里或任何距离。它没有给我们几秒钟，时间或时间单位。因此，我们没有答案中有任何单位。这只是想证明，但这就是这样。为此，您不需要任何单位。

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我们将要做的下一个问题将进一步迈出一步。找到加速度。为了节省一些时间，我将其设置为此，所以这是最后一个问题的延续。当您在测试中看到这一点时，它们可能没有连续性。您可能只是被告知要从此开始。实际上，您甚至可能会被告知要从距离开始，然后再采取两个步骤来找到加速度，甚至可以替代。

不过，这次，我们已经通过在最后一个方程式中使用第一个衍生物来弄清楚速度方程是什么。这是方程式；这是我们所做的各种形式。好吧，加速度是速度变化的速度。发生速度的效果是其速度的变化。我们会发现速度相对于时间变化。关于时间的比率是时间相对于时间的衍生物。

就像我在这里展示的那样，您会找到加速度。这是速度的导数。这是速度方程。我们必须在该部分的导数上对DT进行D d。我考虑这一点的原因之一是因为你相信与否，这使得该衍生物更容易做到。因此，我们在这里有产品规则。第一个因素是2T加3T²。我会采用它的导数。它的导数将为2加6t，次，第二部分的非导数，e为3T，以及第一部分的非衍生物。那就是2t加3T²，次第二部分的衍生物。 That second part derivative takes the Chain Rule again. It?s going to be 3e to the 3t.

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3e到3T;在那里看到有点困难。好吧，我们几乎完成了。我们被要求在特定时间找到加速度。我们被告知要在3的时间内找到加速度。在这种情况下，加速度为462。

One thing that might be confusing you especially if you?ve had a lot of stuff in Physics, you might be thinking wait a minute, isn?t acceleration always 9.8? No, that?s only the acceleration caused by gravity and only on earth surface actually. It is possible to have accelerations that are not constants like that. You can have different accelerations. This is a non-constant acceleration that varies with time. It can happen. The reason it?s not familiar to you is because High School Physics rarely goes that far.

那么积分适合在哪里？好吧，如果速度是距离的导数，则速度的积分必须是累积距离。他们必须能够互相逆转。这是一种常见的问题。问题说，粒子沿X轴移动，因此，在时间大于0的任何时间，都会给出速度。您给出的另一个信息是，粒子位于x等于-100时3. S要求我在时间上找到对象的位置等于9.S三个数字浮出3次。您必须决定哪些将成为您集成的限制。在那里，0，3，有9个。

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The one we?re going to ignore is the 0. The reason we?re ignoring the 0 is because we have a starting position at time equals 3. We just have to find out how much distance got accumulated between 3 and 9 seconds. If you look at this graph, this graph shows time versus velocity. Velocity starts at high, but it?s positive. So the object is moving forward. It keeps on moving forwards yeah, I know it looks like its moving forward doesn?t it? But really this is just velocity. This is a positive velocity, so at this time it?s moving forward. Positive velocity moving forwards, positive velocity moving forwards.

不过，在这里，它的速度为负。它向后移动，但我们不必为此担心。整体将照顾向后移动。如果您以-100的距离开始，也许您会沿着速度向后驶向+500，然后将您向后撞到+450。我们不必担心。不过，我们将做一个不可或缺的事情。积分将在3秒至9秒之间。因此，看着图，似乎我们积累了一些正距离，然后失去了一些倒退。

让我们建立我们的积分。我们需要找到累积的距离。这是在第3和9时之间积累的。因此，积分在3到9之间。您整合了速度以获得距离。当然，速度方程是10T的200个减去7T ln，因为这是时间的工作变量。

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好吧，在这一点上，您看着这件事，说哦，我该如何整合？你不必担心；您可能不会在测试部分中看到某种方程式，您不允许计算器。是的，可以将其集成，但是当您替换3s和9s时，您都需要小数近似值。因此，他们不会在非计算机部分给您。

您要做的就是将其设置在计算器中。让我更多的时间写出来。将其设置在计算器中，以使您的累积距离是200个减去7T LN 10T中的3到9的积分。输入此部分以使您的计算器图将其绘制，然后使用集成函数在3和9之间找到区域。在这种情况下，您的计算器将告诉您累积的距离为157.441。那是累积的距离。查看问题一秒钟。当您尝试找出我们要做的最后一件事时，我会停下来暂停。我们还没有使用过一些信息。提示是这是累积的距离。

我们从-100开始。所以我们从100回来开始。将其放在一条不错的小线上。有0。我们从100个开始，粒子向前移开，然后向后移开并在整理位置缠绕。那我们应该找到什么。这是整理位置。基本上，您要做的就是乘坐-100的起始位置，并将累积的距离添加到其中。因此，+100给我们的最终位置为57.441。我会抛弃441，因为我不在屏幕上。

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最困难的问题您会被要求做涉及距离，而不是位置，而是距离。让我解释一下区别。让我说我从0的位置开始，向前移动2米，然后向后移2米。如果我为此做了一个速度方程式，并在整个过程中整合了它，它会告诉我结果是0。我没有去任何地方。我在我开始的同一个地方结束了。当然，我在最后的位置是我开始的地方，但是我旅行的距离是2个前进和2个向后。距离不在乎方向。我旅行了4米。让我尝试。

这个问题说粒子沿x轴移动，以便任何时候它的速度由1/3t³minus给出4.粒子在时间t时的位置5等于0。不要在这里寻找5个，因为这不是位置图。这是速度与时间的图。因此，我们知道当时是0，位置是5。我们要求找到在0和3的时间之间传播的总距离。如果我将0放在图表上，或者替换为公式，则您？确定该瞬间的速度为-4。向后移动，我们必须考虑到这一点。在时间等于3，速度将是正的。如果我只是整个过程中都做了一个不可或缺的一体，那么整体将使该区域变为负面。然后添加为否定区域，以获得太小的结果。

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我发现的是该位置。我想要距离。我们要采取的主要步骤是查看图形，确定哪些区域在正和负面。这是一个具有负速度的区域。这是一个具有正速度的区域，然后建立两个独立的积分。我们根本不使用5。它只是一个扰流板号码。如果我从这里开始并向前移动仪表，我会走一米。如果我从这里开始并向前移动仪表，我仍然走了一米。我走了多远，不取决于我从哪里开始。那么，让设置设置。 We?ve got to find out where that is so we have our limits of integration.

现在，根据您在测试中的位置，您可以将其键入计算器作为图。并告诉计算器使用0个方程式的0函数。我设置了这个，以便可以手动完成，因为您可能必须在测试的非计算机部分上进行这些操作。当然，您可以通过查找何时和向下的坐标在这种情况下的t等于0来找到0。如果您有一个要手工做的人，那么它们不太可能在您真正复杂的代数上；也许比这更难，但没有太多。

我们会解决这个小家伙。i？ll在两侧添加4个，所以我们得到4平等1/2t²，我们将乘以2，因此我们将获得8个等于t²。看起来那样会给我们带来T²。我失去了一个变量。这是T³。我对此感到抱歉。tm。所以我得到的是t的值等于2；尼斯整洁。

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但是，如果您要求手工做到这一点，那么它将成为一个相当不错且整洁的数字，顺便说一句，它不包括分数。分数很好。那是2.因此，我需要在0到2之间进行积分。我是负面结果。我必须对此做负面的事情，以便获得距离的距离。

这再次是步骤。我们现在已经解决了问题。我们找到了0。现在，我们必须测试以找到正面和负区域，因为您可能没有图形。如果您在非计算机部分上，您不会看过我们刚刚看过的那张漂亮的图片。您需要进行手动测试。然后，您建立积分并集成。

这是我们所知道的。在问题的最后一部分中，我们发现我们有这样的情况。时间等于0是我们间隔的终点之一。从负面变为正面的地方，我们还不知道。我不知道速度是负的。我像我在前盘中一样进行老式的手动测试，以找出特定区域中该功能为正或负面的位置。

在该区域的点，我将称呼该区域1，我会打电话给该区域2。我只需要进行一个简单的标志测试即可查看0到2之间的时间是正面还是负面结果。我不在乎结果是什么。我只是在乎它是正面还是负面。在0到2之间选择您想要的任何东西。既然我可以选择任何东西，那么我会让我的生活变得更简单，然后选择一个。为什么不？如果您在该地区选择任何东西，您将获得正面或负面的结果。如果我选择了这个，我会得到负面的，或者如果我选择的话，我仍然会变得负面。如果我选择了，我仍然会变得负面。

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您在该地区的任何地方都会在结果上获得相同的标志。因此，我们的第一个测试i？m测试t等于1，而我将找到1的V。这很容易做到。让那个使那个是一个1。我们去了；1的v等于½倍1至第三功率减去4. s的一半减1 4. s负。那就是我们所关心的。那是负面的。

So I know when I set up my integral, I?m going to have to do the negative of that result. Next region might be positive or might not be. You can probably predict it, but don?t assume that because this was negative, the next will be positive. You never know. Between 2 and 3 is 2.5 if that is anything and now we?ll find the velocity at 2.5. That?s ½ of 2.5³ minus 4. Now you might panic and think ½ times 2.5³ minus 4, how am I going to do that without Mr. Calculator? Well, you could write it out by hand, but if you recognize a little fact about this, you can save yourself a bunch of time.

还记得2³是8。8是4。4减去4是0，因此在边界线上。如果您的位数超过2个，则有超过2的东西，您将获得超过8个以上的8个以上超过4个超过4个。因此，我们知道这是一个积极的区域。让我们建立我们的积分，我们接近完成。

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我们刚刚发现我们在0到2之间的速度为负速度。嗯，我现在积累了我的距离。我必须做一个从该方程式的0到2的积分。因此？s½t³减去4DT。由于0到2之间的任何东西都会产生负速度，因此该积分将使我们具有负距离。我们不在乎我们谈论旅行的距离时的方向。因此，将负在其中。那是第一部分。

The next section has a positive velocity, so I?ll just add in its integral. I?ve got the integral from 2 to 3same thing again; ½ of t³ minus 4dt. Now let?s do the integral. Don?t lose this negative. It?s really easy to do. If you do, the problem will fall apart.

学习这类东西非常重要，以锁定这些积极因素和负面因素。T³的积分是第四次的1/4 t，还记得它是一个校正因子，次数已经存在。所以我要把1/8 T到第四吨。-4的积分为-4t。您将集成从0到2 plus，这里的好处是相同的积分。因此，您不需要再次采取这些步骤。只需将其复制到新的集成限制。对同一事物的集成的新限制给了我们这一点。从2到3。

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Now be very careful when you substitute. Don?t forget this negative, and really take your time to get the positives and negatives correct. Or again you?ll get the wrong answer. I?m going to save a little bit of time though. That?s a whole lot of fractions to write out. The result of this one is the distance that you accumulate is 81 over 8. Well, again what about that starting position? The 5 doesn?t matter. We just worry about how far we went, not where we started. So you don?t use the 5.

好吧，我只是为您提供了微积分中真正的大主题之一的背景。距离，速度，加速度以及它们如何相关。您可以执行衍生产品，也可以根据您提供的信息进行积分。如果您有距离，则可以执行衍生物以获得速度，然后再进行另一个衍生物以获得加速。

如果您给出一个加速度方程式，则可以做一个整体，以找到速度方程。您可以执行该速度方程式的积分以找到距离方程。很棒的东西，这很有趣。这对微积分很有用。它对物理非常有用。如果您最终继续服用一些大学物理学，您可能会以微积分物理学来详细地看到这些东西。好吧，请务必查看奖金材料。他们在那里涉及所有涉及所有步骤的良好练习问题，以便您检查您的工作。