切线和优化

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切线和优化。这是一个主题的相当早在今年刚刚你学会了如何做衍生品。这是一个非常重要的话题。什么这个话题是帮助你找到最低和最大的曲线,和你还可以找到线切线曲线在任何位置。所以我们要先做一些基本的检查。我们会继续练习几个问题,然后我们会去一些应用程序。应用程序涉及到优化问题。

切线正是它说,这是一条直线。看看。我们这里有一条曲线。使一个切线特别的是,它触及到曲线只在一个点上。所以我要选择自己一个位置。好了,所以有切线和它接触就在一个地方。

你做过线方程代数1日以来,记住它要求你必须有一个斜坡,你有一个点。这是一个点。每当你这些问题,你会被告知将它指向什么。但是我们需要斜率的微积分。

让我们试一试。我们要做两个练习的问题。其中一个是一个基本的问题,另一个是一个小步骤更加困难。让我们看看。

所以我们应该找到一条直线的方程的曲线的切线,问题告诉我们想要切。让我们把它。

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(4)好的切点和切线是这样的。看,我想这可能是斜率为2、3、4之类的。但我们不需要猜,因为我们有微积分。现在,我们要如何得到我们需要的尽管因为记住一条线你需要有一个点,你明白了。但是你也需要一个斜坡。我知道我以前听过这个,是的衍生品。衍生品的斜率。

我们要做的就是的导数公式我们希望相切的线,然后我们再看看会发生什么。让我们看看y = xA³3的导数是3 xA², 3当然是一个常数,常数的导数是0。

这是很有趣,斜率等于一个公式,你从来没有在代数。坡是一个公式,你做了一个斜坡,是一个数字。但那是因为你处理直线。这是一条曲线,斜率是一定数量。斜率是陡峭,斜率,陡峭。好吧,让我们继续。

同样的问题我们就发现这个公式斜率,我们知道,它会通过这个点,在这里你会发现点的斜率公式。使任何线的方程的如果你有斜率和一个点,斜率是正确的会在一分钟。

这个斜率公式只需要我用x数量。斜率当x = 1 = 3 * 1²,只是3。所以我猜斜率之前并不遥远。对你的公式。

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所以y - =,我总是喜欢这样做,因为只是给你要留空白替代。x = 1时,y = 4,把它放在斜率,简化一点,我们会有我们的方程。看看我们有什么。我们有x y + 4 = 3 + 3,所以3 x,两边带4,你拥有它。直线的方程,触动一个曲线。让我们去尝试另一个只是稍微难一点。

看起来很困难对吗?事实上这并不是很难的导数。使它有点困难的另一件事是,我们没有经过,我们只有一个坐标。但它不是真的很难处理。x = 1,它是关于我们知道那个地方是1的x坐标,但一但我们还不知道y坐标。你知道切线是会这样的。发现y坐标是足够简单,所有你要做的就是把一个公式。让我们试一试。

我们得到y = ln (1 + 2) 1²。这是y = ln {3 - 1)。现在你可以把这个作为一种具体形式。我要做一个小数的近似,简化问题的高度。

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十进制近似约为8.1。所以我们有我们需要的组件之一,我们有一个点,它穿过。现在我们必须去找坡,所以我们需要的导数。这需要链式法则,但x + 2是1的导数。所以我们可以链式法则没有发生影响。导数这个是很快的,你得到y = 1 / x + 2,这是自然对数的导数。和xa的导数2 x²。我们要到下一个幻灯片,我有这写出来,我们将继续这个问题。但是我们几乎完成了。

所以有斜率公式和我们刚才发现它通过(8.1),(x, y)坐标。我们要找到斜率,我特别需要的斜率是斜率。所以发现y ' (1) 1 / (1 + 2) 5/3 - 2 * 1。代入,然后做完了。

好的斜率是5/3的原因再次点斜方程,和一点点的简化看看。

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我们有y = 5/3 x + 5/3并添加8.1双方。节省一点时间,我们会把它在这里。5/3 1和2/3,1.6重复,简化了很容易。

优化是一个非常重要的话题,非常重要的。优化发生所有的时间在美联社测试,对于这个问题,它实际上是一个伟大的使用微积分。优化通常意味着你想找到一个最小或最大,最好的解决方案。这就是一个简单的示例,但它是良好的开始。

问题问你,找到两个正数的产品是612,是谁的总和最小。你可以做1乘以612,增加到612,然后之和是613。或者你可以做2 * 306乘,一些是612,金额是308。好,这是一个更小的总和。我们想要找到的最低,反正我们不想做这个猜测和检查的东西。当你做优化问题,有几个基本步骤。

要做的第一件事就是写的基本,基本方程。它通常涉及到要求的问题。无论问题是问你最大化或最小化,这是你的主方程。所以在这种情况下,它将需要一个方程始于总和,等于总和。有时候你必须编写和替代作为一个二次方程。所以我需要一个二次方程。然后你去发现一阶导数代入0找到最小值和最大值。

的原因我们做优化在这节课中,是因为切线使这项工作。

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让我们试试这个问题。好612年的产物,两个数字。两个数字我需要两个变量,所以我可以说我的第一个数字是x。我的第二个数字是y。并添加他们给你的,这是主方程。这是我们要做的导数。但是我们不能因为他们是两个变量。就此而言,我们不会做,你会期待的导数。

所以我必须摆脱变量,这就是二次方程。有一个比特的信息,我们还没有使用。注意在没有612年,数字乘以612。让我们写出来。x y = 612。现在我有两个变量有两个方程,这意味着我可以替代它们。我要解决的第二个方程y。所以我可以替换掉y。

所以y是612 / x,然后我会代替,然后我会有一个方程,刚刚x。所以我们走。总和是x + 612 / x。所以我们写我们的主要方程,我们撰写并取代二次方程。现在为了最大化,我们需要找到的地方在峰值斜率等于0。让我做一个快速的图。

如果你图表和方程,该变量将x。垂直没有y,总和。你可以称之为x但我将标签和。然后它会看起来像这样。

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在这里,这是最低的位置。最小的地方,这就是我们要找到我们需要的多少。我们的目标是找到那个点的x坐标。然后看,因为这是底部是一条水平线。一条水平线的斜率是多少?0。

所以我们两个步骤又做导数,然后用它在0代替斜率,所以我们可以找出协调。

所以我们要做双方的导数。的导数之和,我们看看,导数是1和导数612 / x -612 / xA²。如果你需要,请记住你可以改变这个x的612到612倍-首先,为了使导数更容易一点。

现在我们知道,这给了我们在任何地方斜率曲线,但我们特别希望斜率。我们写0,替代。现在我所要做的是解决这个问题我们会有两个数字。我会增加这个两边都给我612 / xA²= 1。

两边同时乘以xA²,我们得到612 = xA²。做双方的平方根,x是612的平方根。会的其他号码是相同的,因为记得,我们都希望他们612和612的平方乘以612等于612的另一个广场。

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所以我们的两个数根612年和612年的平方根。再来一个,再一次像这样。“哦!没有他们回来。”Find the maximum volume of an open top box that can be made of 8x14 sheet. These things were probably your nemesis in pre-calc. Most pre-calc courses of these days will have some of these on there. But in pre-calc you had to find the solution by using graphing calculator. Now that we're using calculus, you've been liberated from that calculator.

让我告诉你这是什么样子的。所以哟有一个表,你就可以找到你想要的,或者你想从一个角落里。你出来之后,可以折叠起来。得到一个盒子,我们有我们的盒子。这个盒子应该有一定的体积。现在没有说我不得不削减量。看到你削减量,这是一个变量。我来带你去看看。

你可以切断x, x的一面。你不得不削减广场这盒子折叠顶那么多了。所以x, x, x, x,但x是可变的,可以切掉。做一下。我不得不削减所有穿过所有的角落,否则他们不会折叠均匀。现在这个小家伙折叠起来,突然间我们有不同的盒子。它从相同的表但高和它有一个不同的体积。

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好吧,如果你做一个这样的细小的剪下你得到一个很平浅盒,几乎没有任何体积。如果你减少很多,你有一个高箱但它没有体积。如果你减少适量,你会得到一个金发女孩盒的最大体积和我们要弄清楚的。让我们去工作。

所以我们的约束是表8到14,所以8,14。我们知道我们要最大化体积,和体积是长*宽*高。我们看看我们的盒子,长度或宽度。长度和宽度是这里和这里。如果我把这14和切掉x从这一边,和x从那一边,剩下的在这里是14-2x。现在如果我拿这个,并削减从另一边离8 x x从这方面,我有8-2x。

所以我们有长度,宽度和高度。8-2x 14-2x长度,宽度和高度,这是x。这是体积公式把替换它。长*宽*高。我已经分配,以节省一点时间。这是一个公式,y等于体积。这将是形状和体积的体积会有最大值。如果你图这个,小心当你在做你的图形计算器,因为这些是出奇的高,如果你在一个标准的图形,它看起来不像任何东西。

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所以当你设置它,你要做的就是设置它的窗口图框的大小。还记得我们最初的纸是8英寸,如果你砍掉x, x从这边,你可以切掉越来越多。但最你能远离这条边是4。沿着14尺寸,如果你切掉越来越多的,你可以减少7但你不能削减的这一边。四是最可以删掉。这是x,当你设置图形窗口宽四或。这往往是一个100或200之类的。

图是这样。有高峰和微积分找到我们的高峰。让我们再次回顾我们的步骤。

我们写了主方程,我们在我们需要替换。我们不需要一个二次方程这一次因为只有一个变量。我们的下一步是导数,替代零然后我们差不多做完了。

导数y”,换句话说斜率或体积。这将是12 xa²- 88 x + 112。现在,在这一点上,它可能因素。如果你的AP的测试图形计算器允许,甚至不浪费任何时间因素。不要浪费任何时间甚至与产品配方。只使用你的图和计算器找出P。

部分当你如果是不允许使用计算器,那么这将是可分解,你需要这样做。这个虽然不因素,他们通常不会,说特别提出。我这个工作提前一点。

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在这一点上,如果你用0代替斜率,你会发现什么是你的x值1.638,这是其中一个,另一个是5.695。

我们有两个解决方案,但是这个问题只有一个解决方案。这个是无稽之谈,你不能削减,从一边的盒子。如果你做你做的是割掉整个表,就会一无所有卷。这是x值的最大值。我们通常会问你的问题,找出最大体积。

别在这里停止,多项选择。他们可能会给你这个答案,看看他们能诱使你停止有点为时过早。重读这个问题,它定义卷说。最大容量是你得到的,当你把这个。所以我代替的体积为1.638之前和工作,它是关于82.98。

切线,那么这是一个重要的话题。在这节课中,我们讨论了曲线的山坡上发现在特定的地点。我们讨论了发现切线的方程,在这些特定的地点。你会经常看到AP考试的问题,他们会让你找到一个曲线的切线方程,或者只是斜率在一个特定的地点。他们在选择题部分很常见。您可能会或可能不会看到一个优化问题在自由响应部分。

另一个重要的事情在未来的事件,他们总是问你找到最大值或极限图。

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当斜率最大值和极限图发生= 0。所以调整在下一集,你会看到我们再进一步。