黎曼总和和梯形规则

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里曼总结，你还记得这些小家伙吗？您第一次看到它们是您第一次开始进行积分的时候。Riemann和通过将其分解为部分来近似曲线下方的区域。有时这些部分是矩形，有时是梯形。

因此，您在Riemann总和上做了很多工作，您挣扎着与他们作战。然后，您了解了如何快速进行积分，并且您完全忘记了Riemann总和。我们今天在这里拍拍您的备份。所以我们在这里为您开个笑话。

当您将jack猎人猎人用馅饼分开时，您会得到什么？南瓜派。

上下黎曼总和里曼总和有许多不同的口味。现在，您实际上可能不必在您永远不知道的AP测试中计算其中的任何一个。但是，如果这样做，您需要做好准备。您需要知道什么是不同的类型。因为在另一种问题中，您可能会被问到只是要求您比较总和的相对大小。首先，我们将解决上下黎曼的总和。

请记住，riemann的总和是如何将形状分为部分，垂直部分的。很多时候，您甚至选择的部分可能是宽度为1或宽度为2。他们真的不必是。我可以选择任何我想要的东西。我会在这里提到这一点。我会说，我要这一点，我会在这里做到这一点。然后垂直绘制该功能。如果您实际上要进行计算，那么您必须做什么，然后找出这有多高，因为您将要计算子部分的区域。

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对于Riemann的上部，您的所作所为是您绘制了矩形，因此它们都超出了功能。从这里到那里给你一个。到达那里，然后向下给您下一个矩形，然后在这里到达下一个矩形。因此，我们将这里和这里之间的间隔分为三个不同的矩形。如果您找到所有这些矩形的区域，并将它们添加到您的曲线下面的区域的近似值非常差。

那是在里曼上部总和，太大了。较低的Riemann和使用相同的斑点。但是，我们没有为上面绘制矩形，而是在下面绘制它们。这次我们将不得不使用它。因为对于较低的Riemann总和，它们将被划在底面上。我要开始这里以更有意义。

对于这里，您将在下面画画，这是我们在区域上所做的部分。然后，您在下面的下方画下方。对于下一个，请注意这次使用左侧。我必须使用左侧，而我的矩形实际上没有任何高度，因为这是0,0的正确。

但是，无论如何，如果您发现这两个矩形的区域，并将它们添加到曲线下方的区域。这次是一个非常糟糕的近似。左右Riemann总和只是命名通过在上方或下方进行矩形制成的命名的一种不同的方法。但是这次，您不必担心该部分是在上方还是以下，而只需查看您是否要从左侧还是右侧填充。

请注意，这一次我有不同的功能。这是在X轴下方而不是上方的。

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让我呆几个间隔。绘制垂直线。如果我要这样做上层的总和，我将做所有适合上面的矩形。如果我做了较低的总和，我确实适合下面的矩形。对于左和，您根据左侧进行矩形。因此，基于左侧，对于此特定部分，其左角在这里。在本节中，它的左角在这里。在本节中，其左角为0,0。因此，这是一个矩形，又没有高度。

如果您要提起此定义，那将被称为左和。如果您要这样做，它将称为上限。因此，不要误以为左右总和总是更大或更小的错误。您需要实际查看功能在哪里，以查看其中哪一个更大或更小。在这种情况下，左和将结果是小于右和小额的总和。

当我做正确的总和时，您会采用矩形。但是这次您将它们从右侧绘制。因此，您可以获得更大的矩形，其中有更多区域的另一个更大的矩形和更多的区域。还有另一个更大的矩形，有更多的区域。因此，在这种情况下，如果要求您比较它们，则说左Riemann总和小于右Riemann总和。左riemann sum是一个低估的总和，右riemann sum是高估的。

您可以进行Riemann总和的下一步是中点总和。让我看一下其中一个。Riemann Sum我们仍在绘制矩形，我们仍将找到它们的区域。我们仍将加起来这些区域，以获得曲线下方的区域的近似值。

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我会选择我的小节，这次我会去找到中点。您需要转到中点。我会将其绘制为虚线，所以它不会太混乱，因为它们将是矩形。中间和2之间的中间是1。向上绘制。那将是高度。如果您实际上要计算此功能，则必须按点进行平均值，然后将结果放入公式中，以找到我们用于中点Riemann Sum的第一个矩形的高度。

下一个在2到4 US 3之间，将其直接向上绘制。如果发现该高度，则将是第二个小节的矩形高度。这是Riemann总和的下一部分。接下来的4至8之间的平均值。还记得这是找到中点的快速方法。只要平均。4加8超过2是6。该位置是下一个矩形的高度。绘制，我们将在中点Riemann Sum中获得下一部分。

在这种情况下，上部总和太高，较低的总和太小。中点总和更像Riemann总和的Goldilocks。这是正确的，不是很正确，但是好多了。

请注意，这里的这个区域高估了，但是这是由于这种低估所阻止的。过度估计，低估。高估了低估。

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因此，对于曲线下方的区域来说，这可能是相当不错的近似值。但是不要犯这个错误。不假定中点总和是上下总和的平均值。通常不是。

梯形总和是您可以做的下一个总和。现在这些不是Riemann总和。它们有不同的方式组织图形，因此通常可以很好地估计曲线下方的区域。梯形总和。这就是它所说的。您实际上做梯形和不觉得自己被停下来，不要觉得自己被困。它只是梯形，自从几何以来，您一直在做它们。

但是您首先挑选时间间隔。我以前做过的方式，选择您的间隔。而且，如果您实际上要进行梯形总和，您会发现坐标，端点，x和y坐标。

而不是绘制矩形，我们将绘制梯形。梯形也有平行的边。这是一组平行的侧面。但是另一边一定是平行的。梯形的下一侧，在这里之间直接，这是梯形的最后一侧。梯形的面积是碱基的½总和乘以梯形的高度。

这里的好处是，由于我们通过绘制垂直线路进行这些总和，因此垂直线总是垂直于X轴。喜欢简单的几件事。它可以保证它们是平行的，并且还告诉您，间隔的宽度实际上只是梯形的高度。现在，这可能会令人困惑，因为您习惯于认为高度是向上和下降，高度是上下的。

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不，这不对。在几何形状中，它不上和。高度是基地之间的距离。但是您知道我们可以从这里继续前进，如果我们找到了这个高度，我们将拥有1.如果我们找到了这个高度，我们有基地2。我们可以替换为公式，我们将拥有该子部分的区域。现在让？现在绘制其他小节。

在这里和这里，它不是梯形，它实际上是一个三角形。但是您实际上可以使用梯形公式。此基础在这里将被称为基础2，并且该位置不是线路。这只是一个观点。但是您仍然可以称其为基础1，并说基数1的长度为0。

现在，这是有趣的事情。这将要做的是稍后出现时，当我们为梯形总和制作组合公式时。但是，请记住这一点，就在此处，本节就在这里，分享一方。

本节的基础2是本节的基础1。这必须稍后制成一个凝结的公式。下一节看起来像这样。下一节看起来像这样，因此您有4个梯形，在这种情况下，它将是曲线的非常好的近似值。它仍然有点低估。因为在所有梯形上都有区域，但还不错。梯形再次总和它们总是低估了。有时它们可​​能被高估。

是时候做更好的练习了。AP测试经常会要求您处理梯形总和。最近发布的练习测试往往显示出许多梯形问题。我们将集中精力在本节中。

因此，这个问题要求您使用三个子间隔的梯形和估计t曲线下方的区域等于0，而t等于3。

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您可能会在免费响应部分看到这一点。如果您这样做，请确保您对所处理的内容做得很好。因为他们将尝试检查您的理解。为了证明您在图中理解这一点，您需要显示一些工作。

因此，我将从图表开始，这应该在0到3之间进行。只要他们能阅读它，就必须是一个非常漂亮的图表，这是他们真正关心的一切。1、2、3在图上放了一个比例，总是需要一个比例。其中x为x和y，函数值在0到1.68之间。那里缺少一些东西，我们必须在一秒钟内处理。也许我们应该首先处理这一点，因为我们需要知道如何制作图形。我们需要该功能值。

他们可能会给您所有人，或者他们可能要求您计算一些。真的不是那么难。您只将2.5放入公式中。因此，您将有2.5的正弦。计算您的价值。我提前F（2.5）大约为1.20。

注意所有这些小数。如果有这些小数，则可能会在测试的计算器部分上。您可能会在非计算器部分上有梯形总和，但是随后它们将使数字易于处理。

因此，我必须高达1.68，只有这次我认为我会做什么，我会使每个小节价值0.5。这样，我们可以使图形更大一点。阅读更容易。您不必有间隔，甚至从上到下都有比例。