极限

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限制是我们在微积分和AP测试中所做的一切的基础，它总是向您询问一些。在多项选择部分中总会有一两个或两个，通常在您不必使用计算器的部分中。好吧，我们将首先审查一些基本限制。然后，我们将继续进行您在AP测试中可能看到的一些更复杂的问题。让我们开始吧。

基本限制。让我们看看几个。基本限制有4种水果口味。您的数字除以无穷大的有限数字，有限的数字除以0，无限划分为无限，而0除以0。这些都是不可能的情况。

您如何通过无限分裂？好吧，你不能。那就是限制的来源。您如何除以0？你真的不能。这就是为什么您需要限制。限制是寻找不可能数字的数字的方式。您几乎可以到达，但直到您无限接近之前就永远不会到达那里。这是第一种有限的无限划分的。这将有点艰难。100,000分为无限数量的零件。 If you divide 100,000 into one part, you get 100,000. You divide it into 10 parts you get 10,000. If you divide it into 100,000 parts you get 1. So the bigger the number on the bottom gets, the smaller the result gets. But if you divide 100,000 into an infinite number of parts, each of them has to be infinitely small, in other words, 0. So anything that's finite divided by infinity, always going to be a 0. No matter how big it is. This could be 62 billion up here and if you divide it by infinity, it'll still be a zero.

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然后，您是相反的，将一些有限的东西除以0。因此，如果您开始说，我们的X是1，则将其除以1，您得到-1000。如果使X较小，则像0.5，-1000除以0.5为-2000。它将更大。我将快速地了解这一点。因此，您可能会认为这是基本的双曲线功能。看起来像这样，对Y轴渐近。

在这里，我们遇到了一些问题。发生的事情是，您是从右侧来的，除以越来越小的正数，结果越来越负面。但是，如果您以这种方式走来走去，除以负面数字，但它们越来越接近0，那么这个数字就会变得越来越积极。这就是小好处的意义。这是关于处理这个小细节。这说我们将接近0，这里的数字将越来越接近0，但是它们将从更大的一侧进来。因此，您的-1000除以越来越小的正数。看看它要去的地方，负面无穷大。

我们将再次看一下。现在，我们将让事情只接近0，而不必担心正面或负面的部分。这次，如果我们从右边有加号进来，我们会遇到问题，结果将朝着负面的无穷大。如果我们从左侧进来，如果那里有负面，我们会进来并接近积极的无限。

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最后一个示例称为单方面限制。这是两个方面的极限，这是正常的限制。问题是，您如何决定要朝着负面的无限或正无穷大？你不做决定。如果限制从两个方向都不相同，那么您只是不能说完全有限制。您必须说它不存在。

下一个风味。无穷大除以无穷大。这很奇怪。某些东西本身分裂。通常是1.但是奇怪的事情可能会发生。看这个。有一个巧妙的小技巧来实现此限制。您可能在预赛前首先看到了这个，您可能会在今年年初再次对其进行审查。如果您的东西要朝着无穷大，并且在顶部和底部具有X的功能，请在分母中寻找X的最大功率。那是Xâ³。 I'm going to divide the top by x³, which I can do legally as long as I divided the bottom by x³. I'm going to do that. Divide the numerator by x³. Divide the denominator by x³. And now, I'll do a little bit of simplifying. See that x³ can divide with the x³, that x can divide with the x³.

让我写出简化。因此，随着X接近分子中的无穷大的限制。Xâ³除以Xâ³是1。x除Xâ³为1/Xâ²。在这里，2xâ³除以Xâ³为2，Xâ²除以Xâ³为1/x。我们现在从事业务。我实际上可以将无穷大在地放在现在，因为这是认识的？

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1/xâ³？有限除以无限。有限除以无限为0。不再重要。在这里，一个有限的数字除以无限数量，为0。因此，讨厌的无限分裂已经消失了。还剩下什么？1/2。疯了，是吗？整个事情只会简化为1/2。如果您要将其放在图表上，那是该公式，您会发现它在1/2的高度下降低。您可能以前做过。 Horizontal asymptotes. We'll handle those in another episode.

最后类型；0除以0。因此，我们将不得不再次达到限制，因为限制让您分开通常无法分割的东西。在这一中，准备好此事的方法就是因素。保理将使这个问题变得既整洁又整洁。在顶部，分解Xâ²+x-6。就像您从代数为1的那样，就像您一直在做的那样，这是一个普通的旧二项式因素。良好而简单。如果要绘制此图，您会发现的一件事是，您的顶部和底部都有X -2因子。这意味着它可以分开。但是在图表上，当您将其分开时，您会在图中有一点差距。 No need to worry about that right now though.

我们要担心的就是这个。一开始，我们将2个放在那里，因为那将迫使我们做2-2，这是0。您不能除以0。但是现在突然之间，您不再分裂了。您要做的就是将2放入X中，结果是2 + 3或5。

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如果您绘制了此公式，则随着越来越近2，您将在图5处有一个空心圆的位置。

让我们解决一些样本问题。现在，我将在本节中向您展示的问题是您将在AP测试中看到的问题。他们很少会问任何基本知识。我将向您展示的那些，现在很常见。首先，我们有两个非常重要的限制，您需要记住。仅当x接近0时，其中一个限制是正弦x/x，但结果是1。好吧，在这种情况下确实如此。

有证据表明为什么这起作用。我刚刚向您展示的任何基本技术都无法完成。您可能会看到的另一个是1骨X/X。当您接近0时，该限制的限制为0。很抱歉告诉您，但要记住它们，请克服它。他们正在AP测试中。您没有时间证明它们，您没有时间从基础上提出它们。只是记住他们。特别是这个。如果您要记住任何一个限制，就是这样。让我们在问题中使用它。 This is a really common variation that you can see on this. You might think, sine x/x, the limit is going to be 1. There is a little problem, this is 5x and that's 2x. It's not really the same variable.

这个关键是要意识到您必须使其成为相同的变量。在这里，我开始这样做。我要做的第一件事是将这两个分母从分母中分解。那是清除我需要的前进道路。罪的作用是5倍。

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如果底部的变量完全相同，我会没事的，5倍。这确实使学生感到困惑，因为您很了解，这不是一个变量，它是5倍。X是一个变量，5倍不是。好吧，变量可以具有多个组件。您可以将5倍对待，就像是一个变量一样，这将使极限的这一部分变为1。当然，我不能仅将底部乘以5，说这是同一件事，没有办法。但是我可以平衡。我将底部除以5，因此，如果我将顶部乘以5，那么生意，我就会重新平衡它。我们快要完成了。我要做这个限制。

1/2留在那里，某些变量的正弦的极限除以接近0是1的变量。答案是5 1/2。让我们再试一次。这个很诱人。您可能会说，哦，天哪，看看这个。那里的正方形，那里的正方形，他们互相平衡。我们可以去那个限制的城镇。不，抱歉。余弦的极限是仅在平原x上的平原余弦。但是我可以为此做一些事情。我在这里写这篇文章的原因是毕达哥拉斯的身份，是因为它是这样做的关键。 I'm going to rearrange this. I need 1 - cosine squared so I could take this and subtract cosine squared from both sides. So I get sin squared equals 1 - cosine squared. I hope you'll forgive me for being lazy, I really shouldn't leave the variable off but I want to save time. 1 - cosine squared can be replaced with sine squared and I'm going to do that now.

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1-余弦平方是正弦平方。我将变量放回原处，因为现在确实很重要。变量必须匹配。等一下，毕竟不是那个余弦。这确实是正弦的。仍然不像我们需要的那样。因为它是平方并在底部的平方，但这很容易处理。正弦平方x与正弦X乘以正弦X是同一件事。因此，我可以将其分为两个不同的限制。x接近正弦x/x的x乘以另一正弦x/x的0。 And now I've got two of those limits that we just did.

这个限制是一个，一个人的1。1次1是1。这是您可能看到的一种类型中的另一种类型，但众所周知，它出现在测试中，这是一个非常令人惊讶的事情。在这里看看这个。我们的顶部有一个平方根，顶部有一个数字，底部没有平方根。请记住，回到代数1，尤其是代数2，并且在预钟前，当您一遍又一遍地告诉您时，切勿将正方形的根部留在底部。你猜怎么着？我们将使这个平方根放在底部。这是一个整洁的小技巧，它将使它奏效。现在，我要做的就是将其乘以顶部和底部的共轭物。因此，这是9-X+3的平方根上的9+x+3的平方根。

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现在，如果我分发这个，这就是我得到的。9 + x次的平方根本身为9 + x，这是正方形的差异。这两个乘以，这两个乘以乘以0和-3倍3为-9。在底部，我没有乘以x，这是有原因的。看看我们在这里的最高点。9加-9。9加-9是0，它消失了。在这里看这个小美女，X除以x。x除以x为1。

现在让我们看看发生了什么。在此之前，如果我们将0放在这里，我们将除以0，这是不可能的，但是当我们试图划分您的0时，请注意现在会发生什么。实际上，我实际上只是要代替它并查看会发生什么。因此，我们的顶部有一个，在分母中，我们的平方根是9 plus的平方根，我将为x + 3放置0，9 + 0的平方根是3/3加3.您可以做到。答案是1/6。在这一细分市场中，我们还有更多的内容。这是一个要特别注意的人。看起来令人恐惧，这实际上是一个简单的问题，一旦您知道该怎么做。在我们的一集中，我们已经浏览了手动衍生物。您可能想回去检查一下。这就是这个定义的来源。

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有了衍生品，衍生物的定义是，当所有这些X接近0时，它的限制是限制的限制。因此，X Plus Change X Minus F（X）的功能在X中的变化上。您最终除以0，但仍会产生斜率。比较这两个。那就是诀窍。只是认识到，嘿，等一下。这只是定义，其中一些步骤替换为其中。看起来F（x）是Xâ³。只是为了验证，请看一下。f（x）加上x更改为x的变化是相同的变量，因此在这里，h是与之相同的变量。

这与此相当。将X + H代替到功能Xâ³中。该功能为Xâ³。不过，这并不是我们的最终答案，因为我们实际上不是在执行功能，而是我们找到了功能的限制。该函数的限制是衍生物，因此我要做的就是将快捷方式用于导数。好吧，您一直在睡觉中这样做，可能是自第一季度开始或中旬以来。衍生物是3x字。就是这样，这就是整个问题。一旦您认识到，这几乎没有任何事情要做，哦，是的，这是一个衍生产品。

让我们再做一次，因为这有另一个变化可以迈出一步。限制接近0，因此它得到了手册衍生物的那一部分。它在底部。看起来该功能是余弦，但是现在没有X。但是，如果那里有一个X，这里也必须有一个X。

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这是余弦的衍生物。因此，让我们看看，我们的功能是X的余弦。我们会在一分钟内担心PI/2。由于我们正在做整个混乱的限制，因此您知道结果必须是余弦X的派生。有了这个，不要忘记，余弦的衍生物是正弦的否定的。我们快要完成了。如果我用原始问题pi/2中的x替换x，我得到f'（pi/2）等于-sine pi/2。当然，pi/2是弧度。Pi/2的正弦是1.因此，结果为-1。负面来自衍生物。

如果您遇到了无法做到的极限，并且开始感到恶心，请去医院。它实际上是L'Hopital的统治，它以数学前几百年前发明的数学家的名字命名。真的很整洁。当您首次调查限制时，您之所以没有这样做的原因是，这样做需要衍生品和衍生品是基于限制的。但这是一件很酷的事情。它可以节省大量时间。

L'Hopital的规则基本上说的是，如果您要执行一定程度的限制，则可以分别执行顶部和底部的衍生物，并且该结果的极限将与这个极限。不要误以为使用商规则。L'Hopital的规则不使用商规则。因此，我们有无限的极限。

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LN限制为第五功率。那将要采用链条规则，我把它扔进去看看我是否可以抓住你。自然对数的派生派对对数的作用是1。那是第五至第五的1/x，但随后的链条规则说我们必须将X的导数做到第五。所以这是第4次的5倍。在x的底部，x的衍生物至第四，我们单独进行，为4xâ³。让我们照顾一点简化，因为我们无法在这里替代无限，因为我们本来可以将无限分开，而且我们仍然这样做。但是，让我们简化一点，看看会发生什么。

当X接近无限时，您已经有限制。5倍至第4除以X到第5个是5/x，在这里我有4xâ³，还有一些简化的要做。所以我们得到了极限。我会很懒惰，不要在X接近无限的X中写作。5/x除以4xâ€的第四次分配为5/4倍。现在，我们没有无限的无限。我们的有限分割除以无限。结果为0。

本课程从基本限制的有趣方向开始，转向您在AP测试中可能会看到的其他一些更复杂的限制，然后是一些涉及识别衍生物的问题，您很可能会看到这些衍生物在AP测试中。

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最终结束了L'Hopital的规则，这是一个很棒的捷径，您可以使用它。我真的建议您从网站下载补充材料。尝试一些棘手的限制，只是为了使这种束缚。