区域之间的曲线

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出于某种原因,你决定在微积分,为什么?我知道我做了,因为它很有趣,它是真的有用的。它有大量的使用在工程和科学。今天我们要讨论关于两条曲线之间的区域。现在两条曲线之间的面积是它听起来像什么。你可以有两个不同的形状有一个区域被困在他们之间,以及它们之间发现陷阱的面积只是寻找两个积分,并减去他们的问题。

现在说一个工程师想找到真正复杂铸件的体积,或说说支持的桥梁。如果他们能找出一些方程定义的形状,和一个小扩展他们能找到的体积,形状是什么。只要从这两个曲线之间的区域。

让我们看一看一个问题。这个要求我们之间找到该地区f (x) = xA 4 x²+ 7,这是抛物线和g (x) = 7。他们要求的是这个区域。现在这有一个很常见的并发症,它不会告诉你集成的极限。你需要知道的是,集成的极限曲线相交的地方。

所以如果你要做这个问题,你会做的第一件事,就是找到曲线下面的面积上。记得曲线实际上不需要微积分的曲线。这是矩形,然后你会减去抛物线下面的面积。剩下的,将两条曲线之间的区域被困。

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现在是你使用一个公式,你真的不需要它因为要点做一个积分和减去其他积分。但它往往是非常方便集成之前减去这两个函数。现在让我们去做练习的问题。这个练习的问题是,你会给予积分的限制。

让我们开始素描图。这是一个非常重要的,因为你需要知道什么是上层函数。如果你不知道上面的函数是什么,你永远不知道哪一个先来设置。在你确定上层函数和低功能,减去较小的函数上的功能。然后你需要找到集成的极限,如果他们不给你,最后将其集成。

在这个例子中,我有一个抛物线和一条直线,我们要做的间隔0到5。时间间隔是给你。这是图。看起来像上面的函数是一个直线,较低的功能是抛物线。我们的范围从0到5。所以我们要找到卡之间的区域。你可能会想,“等等,这是在X轴,所以困之间的面积和X轴是负的,我会将时间浪费在改变。”No you don't have to. The integral takes care of all of it. All you need to do is take this function, the x+10 and subtract that function, -x²+6x-9. So we'll put them together as a single integral.

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这是公式,公式又只是基本上告诉你减去。所以你有10倍-这一切。这是方便的原因是我们可以做的更少的部分积分,如果我们减去第一。所以我们有面积从0到5。非常小心的+和-这些问题的迹象。其中一个搞乱,你没有运气你有错误的答案。很容易搞砸的,所以要确保你显示一个非常明确的工作,所以你可以去检查+和-的迹象。

现在你可以显示清晰的工作方式,节省一点时间,因为你可以写在测试,是照顾这分发这消极的,只要写这个问题。当你分配一个负a +,变成了一个-,是一个加号。所以我们有工作,我们可以不花大量的时间写。我的意思是一直这样做。

你可能会想,“噢,是的!减去问题我可以做,没有问题我现在在微积分。”You'd be amazed on how easy it is to make a mistake on that step. So I have x² and I've got -6x+1x, that's -5x and we have a +9+10, that's 19. Now we'll integrate, since it's got three parts to it. And if we integrate this, the integral of x² is 1/3x cubed. Integral of -5x is -5/2x².

记得我建立的修正因素对我们说话。xA²的导数是2 x。这2分母必须摆脱来自导数的2。和+ 19 x,我们把这个从0到5。

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那么你去替代。这些问题又往往有很多替代和很多分数,这使得它更容易犯错误,如果你不显示明确的工作。我们虽然5立方的1/3 (125/3 - 5/2 * 5 a²+ 19 * 5) -,这是积分的第一部分如果我代替5,-我用0。现在你可能会丢弃你的马克离开这,如果你离开了这一个,它不会很重要,但要注意你必须总是仔细检查,以确保如果你的一个限制是0,把它的结果真的0。1/3 * 0立方,是的这是0。5/2 * 0平方是的这是0。和19 * 0这也是0。如果你有一个正弦和余弦函数,这些可能不是所有的0。我不会显示所有的工作处理所有这些分数,我提前计算出。

之间的区域包含在这里和这里是445/6。这是我们的第一个完整的示例的面积。

时间尝试另一个,德国人会说一遍。这个是有点难,但最后一个,我们不担心曲线相交。我们只是说,“嘿,这里有一些限制之间找到的区域被困在这些限制。”This time the curves are going to meet and that's going to have to tell us what the limits are.

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所以我们需要找到之间的区域包含抛物线f (x)和g (x)这是一条直线。这将是这一领域就在这里。记住你找到两种不同曲线之间的区域被困,或之间的任何两个不同的曲线,通过寻找并减去两个积分。你可以做,虽然之前,您需要在定积分你就知道积分的限制。你必须有确切的位置。在图上看起来0,但这还不够好,你必须确保是0。这一个看起来可能是5,但你必须确定。

你可能会遇到这样的非计算器部分AP测试,因为这个可以解决好又简单。在非计算器的部分,如果你有一个很好的机会,他们可能会给你图但是你可以指望它。你可能需要手工图。不太可能,但这是有可能的。不管怎样记得代数2,你做了很多,也许有点比代数1。你在哪里找到图交叉的位置。当x坐标和y坐标的曲线匹配在同一时间。换句话说,当f (x) = g (x)。

所以我们要找到y坐标相等的地方。既然双方是x, x是相等的。f (x)是xA 4 x²+ 7, g (x) = x + 7,和我们有一个多项式xA²x。所以你要用老朋友,零产品属性把一切放在一边。把x和xA²5 x, 7,没有恒定的左边。这是漂亮和整洁。保理的x。

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所以二项式系数x取出得到x倍(x5) = 0。我要做一个快捷方式,你知道如何做这些。x的值,这将使这项工作是x = 0到x = 5。我们有限制的集成,5和0,现在让我们去试一试。

设置这一个。记住你要做的是找到该地区是一个函数的积分-。我写了(做减法),但那是因为我记得公式的方法。在这种情况下,看看上面的函数,它是g,它是。我应该把那一分之一。所以记住,当你看的方式写在定义如何做这些,你可以触发器。和重要的是上层函数必须是你减去。

刚才我们发现限制是0和5,和g (x + 7)。所以我们有(x + 7),别忘了你的括号。看起来像董事会是忘记了号码,我只是记得,-把这一切写出来。花时间把它写出来,它不是很长。它肯定能拯救你的错误,特别是当你有事情,你有相匹配的数字。可能会或可能不会减去了。在这种情况下他们会的。

记得在最后一个,我分布,负在减少错误的机会。

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改变成一个+,-,就加上,变成了-。现在我们从0到5积分。我有xa²,首先我要把,我有4 x +一个x 5 x。和我有7 + 7的常数是消失。我不会给你替换。重要的是把5和0和在所有这些疯狂的分数。如果你照顾,你会发现,在这种情况下的答案这是125/6,这两个曲线之间的区域被困。

所以现在我们要尝试另一个。这将会是一个你需要找到图和计算器。你很可能会发现其中一个计算器美联社测试的一部分。我应该找到之间的区域包含cos xA²和g (x) = xA²。

这里是你的xA²,这里是余弦相关函数。它们之间的区域被困在这里和这里。现在你必须有计算器的原因,是因为如果你设置相等,你无法找到位置的精确形式。没有办法。你将做什么是知道如何把这两个函数计算器。你图函数作为单独的函数,然后你会使用计算器的功能,被称为拦截,了解他们哪里的十字架。

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事先我做,计算器,发现这两个地方他们交叉为-0.85970,就是这个位置和+ 0.85970。这个是对称的,但别指望他们永远是对称的。我们现在就去建立我们的积分。它看起来像我们的上层函数这一部分,是余弦。如果我们做一个不同的部分,这可能不是上层函数。低功能是xA²,我们发现我们的极限是什么。这是积分是什么样子。现在你可能会想,“我要把那件事?”If you try substitution, you substitute u=x², there isn't the du that you need. That doesn't matter. This is on the calculator portion. Let your friend the calculator give you advise, just type it in again to find out the area.

现在你会发现两个函数通常更好的消除,你只是在寻找路口,抹去。这在图类型。看起来完全不同,但这并不重要,因为你不在乎的样子。你只是想使用集成函数计算器集成在这里和这里。如果你去做,你会发现这是大约1.2042的区域。我建议你使用三个或四个小数点后的准确性,当你把这些美联社测试。

也非常谨慎的自由响应部分当你允许使用计算器,他们不会期望你显示大量的工作,但是他们会期望你证明你知道适当的符号,而你显然显示如何设置这个。

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所以你真的需要写出这个积分。即使你工作在你的计算器。你甚至可以写作为下一步的步骤。你可以写出这句话,“我发现这个积分在计算器”。And then write down the answer, but you have to show the setup. Part of the points that you get for a free response question, always are involved in the setup.

另一个非常重要的原因,以确保你总是画的图,是功能可能更多,相交于一点。这个要求你找到之间的区域包含正弦函数和这条线功能。看,实际上有两个不同的地区,这里的相交,相交。在这节中,线是上层函数。在下一节中,他们相交,正弦函数是上层函数。你必须解决这一问题,是通过分离成两个不同的积分。

如果你发现这个区域,设置会看起来像这样。第一个地区之间在这里和这里,你不得不线-正弦。另外,对于本地区不同限制的集成,您将不得不sin -线的积分。现在,我可以与你经历的所有步骤的问题,我认为这很重要,你自己试试。但记住你会做什么。你会发现十字路口,建立积分。和这个问题有很多相似之处,我们只是证明了只有一个额外的步骤。

曲线之间的区域,至少你能看到其中一个AP考试的,所以你需要做好准备。我们开始讨论的基本概念,如何设置它们,我们只有通过练习越来越难的问题。

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首先我们做的是一个极限在哪里给你,限制了集成都设置和准备好了。接下来,我们继续,我们必须找到自己的集成的局限性,因为它是两条曲线之间的区域被困。对这个问题,我们能够找到手动的限制,只是通过一些代数。第三个涉及三角函数。我们发现集成的极限,曲线的地方见面,需要使用计算器。但无论如何这些问题,无论他们有多复杂,他们仍然是至关重要的你在做什么区域-区域。

你可能会感觉现在虽然像你真的把事情变得越来越困难,换句话说,他们说你把信封。但是记住无论你多么推信封,它仍然是静止的。